把握时机，循序渐进，逐步提高

朱强

数与形是数学的基本研究对象，形的特点是直观，数的特点是完整严密.它们之间存在着对立统一的辩证关系.在解决代数问题时，直观的图像可以帮助我们更方便地思考.通过数字与图形的有机结合，揭示出隐含其中的几何背景，启发思维，找到解决问题的途径；反之，在研究几何问题时，要注意从代数角度出发，通过数量关系的研究解决问题.

学生在初中已经初步接触了代数和几何，而高中是数学思想方法逐步形成的关键时期.在这个阶段，领会了数学基本思想的同学，学习水平及能力突飞猛进，学习热情高涨；反之，也有许多同学学习能力水平热情平平，甚至出现倒退的现象.原因之一就在于没有真正领会数形结合的思想方法.

解析几何是高中数学的重要内容，这一阶段的教学正是逐步渗透数形结合思想方法的最佳时机.如何引起学生的兴趣和共鸣？笔者认为应该注意以下方面.

一、抓住基本概念

结合课本中的基本例题习题，对每一个基本概念诸如斜率，两点间距离，平行垂直，直线和圆方程等的几何意义都要求通过图形解释，并在此基础上稳步提高.

例1：对每个实数x，设f（x）取4x+1，x+2，-2x+4中的最小值，那么f（x）的最大值是？摇 ？摇.

分析：本题无非是代数和几何方法，如果使用代数法，那么就要比较3个式子的大小，需要分段讨论，相对比较麻烦.而几何方法只要如图作出分段函数f（x）=4x+1 的图像，不难得出：

当x取A点横坐标时，有最大值.

这里，函数的最值就是图像的高点纵坐标，结论一目了然.

二、及时归纳总结和推广

例2：求函数f（x）=+的最小值.

分析：f（x）=.如果从代数角度看，好像没有简单有效的方法.但是从图像角度看，f（x）的值是动点p（x，0）到两个定点N（0，2）与Q（-1，0）的距离之和，依据三角形两边之和大于第三边，就可以知道当x=-1也就是P点Q点重合时（即x=1）时有最小值f（x）=f（-1）=.

这里，函数的最值就是x轴上面点P到2个定点N，Q距离之和的最值.

总结：例题2中点P在直线x轴上面并且x取任何实数，如果限制范围x为正数，结果会怎样？如果点P范围是在坐标平面内，那么点P到点A和点B距离之和应该表示为……

这样，搞清楚了以后，可以思考求函数f（x）=的最值应该怎样求.

三、引导学生进行适当的联想类比

例3：求函数y=的最值.

通过分析引导，如题的形式应该联想到直线的斜率，y可以看成是点P（cosx，sinx）与A（2，1）连线的斜率，动点P是圆x■+y■=1上面的点，过A作圆O的切线AB，AC， 得

联想到斜率，问题就简单了.

例4：若对于满足 的一切实数x，y不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：当x，y满足 时有序实数对（x，y）对应的点就是个圆，要所给的不等式成立，就是要圆上的所有点都在直线l：x+y+m=0的上方（含直线上）即可.显然极限位置是相切 ；不难求得 直线 的纵截距分别是-m，- 这里满足不等式x+y+m≥0的几何意义就是直线 上方的点.

例5：解不等式

分析：本题是无理不等式，一般需要分类讨论，但是如果构造几何图形，则比较方便.令y=，则有y=2（x+）（y≥0），作出抛物线C.再令y=x-1，作直线L：x-y-1=0.

上述直线和抛物线交于点A（4，3）（如图所示），∵≥x-1，∴抛物线在直线的上方，原不等式的解集为：{x|-≤x≤4}.

直观的图像确实有助于我们思考，但是图像毕竟少精确；如果我们不注意结合数的严密性，单纯依靠图像，有时候就会误入歧途.

例6：如果抛物线y=6x与圆（x-a）+y=4没有公共点，求实数a的取值范围.

分析：通常方法是这样，利用图像特点（如图所示），观察得圆有两种可能，

（1）a=-2时，抛物线与圆外切；

（2）圆与抛物线内切（即a>2）时，由方程组y=6x（x-a）+y=4消去y整理得：x-（2a-6）x+（a-4）=0，再由△=0得到a=.

最后，结合图形可得a的范围是：a<-2或a>.好像解答得比较顺利.但是事实上方程x-（2a-6）x+（a-4）=0当a=时的解为负根，所以圆内切于抛物线的情况是不存在的，也就是上图（1）右边的相切圆是不存在的.

图（1） 图（2）

究其原因，还是抛物线图像没有画正确，当a>0时，因为抛物线的张口比较大，如图（2）所示，a>2才是正确答案.可见单纯依靠图像有时会误入歧途.