基于考虑次近邻车的新型交通流格子模型

许阳，袁振洲

（北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京 100044）

基于考虑次近邻车的新型交通流格子模型

许阳，袁振洲

（北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京 100044）

在连续交通流格子模型基础上，提出考虑次近邻车对车流的影响作用，并采用新的模型构建方法构建一种车流优化的交通流格子模型。应用线性稳定性理论和非线性理论进行分析，得到车流的稳定性条件，并得到描述车流阻塞相变的mKdV方程。最后应用数值模拟验证mKdV方程的存在条件，模拟结果表明这种考虑次近邻车的新型交通流格子模型能够更好地刻画车流的稳定机理，更加符合实际交通流特点。

格子模型；次近邻车；mKdV方程

随着城市机动化水平的不断提高，交通供需矛盾日益突出。为了更好地掌握交通问题的形成机理及其演化规律，人们提出了各种交通流模型，例如跟驰模型、元胞自动机模型以及流体力学模型［1－5］等。在这些研究中，都涉及到了从自由运动到阻塞的交通相变。交通相变具有类似气－液相变的性质，自由运动交通和阻塞交通分别对应传统气－液相变中的气体和液体，车间距或密度对应体积或密度，延迟时间的倒数对应于温度，亚稳态区域位于基本图上流量达到最大值附近。

1998年，Nagatani［3－5］借鉴优化跟驰模型和动力学模型的思想，提出了一种基于流体力学的交通流模型，其连续性方程和运动方程如下

其中，ρ0是车流平均密度，a是驾驶员的敏感系数，δ是平均车头间距，且δ＝1／ρ0。ρ（x＋δ）表示t时刻x＋δ处的局部密度，它与车头间距h（x，t）有倒数关系。V（ρ（x＋δ））则代表最佳速度。模型认为驾驶员根据观察到的前方车头间距或密度来调整自己的车速。

其中，j表示一维格点上的第j个格点，ρj和vj分别表示t时刻第j个格子上的局部密度和局部平均速度。

Ge等［6］在2005年提出了两种合作驾驶格子模型，又提出了考虑后视效果的格子模型，靠近中性稳定曲线的KdV方程得到推导［7］。后来，Tian等［8－9］又提出考虑流量差和密度差的格子模型。刘涛等［10］则研究了考虑后面车辆与相关车流影响的格子模型。

可以发现，以前的交通流格子模型基本局限于研究前后车辆对车流稳定性的影响。而车流实际运行时，驾驶员一般都会试图观察前方第二辆车的运行状况，进而做出驾驶选择，所以考虑前方次近邻车的格子模型会更真实地描述现实的交通流状态。本文将在密度差格子模型的基础上，考虑次近邻车的影响，构造出一种新的交通流格子模型。首先通过线性稳定性分析得到模型的稳定条件，再借助非线性理论分析推导出描述车流阻塞相变的mKdV方程，最后进行数值模拟验证本模型的有效性。

1 新模型的构造

在车流运行过程中，影响车辆驾驶的不仅有该车前后方的车辆密度，次近邻车的密度也会对其产生影响。基于Nagatani的模型和其各种扩展模型，我们构造一种考虑次近邻车影响的格子模型如下

其中，λ1表示对第一辆车与跟随车辆的密度差的反应系数，λ2表示对第二辆车与次近邻车的密度差的反应系数。模型认为在交通流中，次近邻车的行驶会受到前方两辆车的影响，而且局部密度的变化会沿着车流不断传递下去。

通过消去等式（5）和（6）中的v，得到方程

显然，改进的模型比传统的模型多考虑了j－1和j＋2格点。

车流优化速度函数［3］的形式为

ρc表示车流优化速度函数拐点处的密度值，该函数在ρ＝ρ0＝ρc处取到极值。

2 线性稳定性分析

下面通过线性稳定性分析来研究本模型中次近邻车的影响作用。交通流的稳定状态拥有常密度ρ0和最佳行驶速度V（ρ0），所以稳定状态为

假定yj（t）是稳定状态下车辆j处车流密度的一个小偏离：ρj（t）＝ρ0＋yi（t），根据傅里叶级数，对yj（t）＝exp（ikj＋zt）进行泰勒展开，可以得到

将等式（17）代入（15），当k→0时，便可得到模型的稳定条件

当λ2＝0，即是密度差格子模型的稳定条件

比较等式（18）和（19），发现本模型的稳定条件相比于密度差格子模型更容易满足。

图1 密度－敏感系数空间相位图（ρc＝0．25，vmax＝2 m／s）Fig.1 Phase diagram of density-sensitivity space

图1显示了在不同λ1和λ2值下车辆密度－敏感系数空间相图的中性稳定曲线。固定其中一个λ的值，敏感系数a都会随着另一个λ的增加而变大。对比发现，λ1和λ2对于降低中性曲线的效果是基本一致的。总之，考虑次近邻车的格子模型的确可以扩大交通流的稳定范围，说明该模型更加切合实际。

3 mKdV方程

在交通流格子模型中，随着车辆的密度增加到一定程度，在自由运动交通与阻塞交通之间会发生临界相变，其中存在一个临界点，mKdV方程则可以用来描述阻塞相的变化规律。

在交通流的不稳定区域，我们引入慢变量X和T，定义为

其中b是一个待定的常量，且定义

将等式（7）中的各项泰勒展开至5阶ε

将（22）～（28）各项展开式全都代入等式（7），整理可得

通过计算，用f1～f7（见表1）对等式（29）进行简化计算，即有下式

表1 fi的取值Table 1 fivalues

其中，gi的取值见表2。

表2 gi的取值Table 2 givalues

假设R′（X，T′）＝R′0（X，T′）＋εR′1（X，T′），为了确定密度波的传播速度，必须满足

其中M［R′0］＝M［R′］，解得密度波的传播速度为

式中，ε2＝ac／a－1。密度波的振幅A为

扭结－反扭结密度波的解表示共存相，即包括了自由交通相和阻塞相。自由状态下，ρ＝ρc－A，阻塞状态下，ρ＝ρc＋A。在图1密度－敏感系数空间相位图中，我们可以发现虚线即为共存曲线。

4 数值模拟

通过求解mKdV方程描述交通流阻塞相的变化规律，得到了阻塞相时交通流的密度传播速度、扭结－反扭结密度波的振幅。密度波的变化过程即是车流的状态变化过程，为了更加形象地展现考虑次近邻车情况下车流的稳定过程，本文借助MATLAB数值编程工具模拟理想状态下车流的密度变化过程。

为了方便数值模拟，将等式（7）变换为下述形式

初始系统状态：N＝100，即有100个格子，且应用周期性边界条件。初始扰动为

模拟过程中，Δρ＝0.05，τ＝0.1，ρ0＝ρc＝0.25，a＝1，vmax＝2 m／s。模拟结果可见图2和图3。

图2 扭结－反扭结波图Fig.2 Kink-antikink shock wave

图2（a）～（d）描述的是λ1＝0.2，λ2从0.1增大到0.4的扭结－反扭结波。通过观察图形可知，λ2＝0.1，0.2，0.3时，稳定条件等式（18）没有被满足，密度波处于不稳定状态。而当λ2＝0.4时，密度值恒定保持为0.25，说明λ1＝0.2，λ2＝0.4满足稳定条件，任何在稳定区域内的扰动最终都会发展为均匀的交通流。图2很明显地说明了密度波的振幅随着λ2的增大而减小。因此，可以认为在格子模型中考虑次近邻车的影响更加符合实际，有助于更真实地刻画交通流的稳定机理。数值模拟的结果证明了理论分析的正确性。

另一方面，为了研究不同交通流状态下局部扰动对车流的影响，下面分别针对低密度车流、中密度车流和高密度车流三种情况进行车流密度扰动分析。模拟方法同之前的一样，取λ1＝0.2，λ2＝0.1的条件，令初始条件ρ0的值依次为0.1（低密度），0.25（中密度），0.5（高密度），通过数值模拟得到下面的结果。

图3（a）～（c）显示了低、中、高三种车流密度条件下，车流局部扰动对车流密度变化的影响。可以观察到，低密度和高密度的车流产生局部扰动时，整体车流的密度不会发生大的变化，扰动很快就会消散，而中密度状态下车流局部扰动会不断扩散，使整体车流密度不均衡。该结论符合实际交通流现象，局部车辆的聚集不会对处于自由运行状态的车流产生较大影响，而如果车流处于高密度拥挤状态时，车速已经很缓慢，局部的扰动也无法改变车流拥挤的状态，所以这两种状态下的车流会基本保持原有的密度。只有介于自由流和阻塞流之间不稳定车流，在车流产生局部扰动时，该扰动会随着车队不断扩散。

图3 不同状态车流的扭结－反扭结波图Fig.3 Kink-antikink shock wave of traffic flow of different states

5 结论

本文中，在传统密度差格子模型的基础上，提出考虑次近邻车的影响作用，构建了一个新的扩展格子模型。经由线性稳定性分析，得到模型的稳定条件；再由非线性分析方法得到模型的mKdV方程，可以用来描述不稳定区域的阻塞交通流。最后，通过数值模拟的方法证明了，考虑次近邻车影响的格子模型能够更加准确地描述现实的交通流状态，而且有助于增强交通流的稳定性。同时验证了局部扰动在低密度和高密度车流中不易扩散，只有在中密度的不稳定车流中容易扩散，符合实际情况。

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Next-nearest-neighbor site based lattice hydrodynam ic model

XU Yang，YUAN Zhen-zhou
（Ministry of Education Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory and Technology，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

We present a new traffic flow lattice hydrodynamic model with the impact of next-nearest-neighbor site on traffic and continuous traffic lattice model．We also acquire traffic stability condition and mKdV equation expressing density waves with linear stability theory and nonlinear analysis．Numerical simulation shows that the new model can better depict traffic stability mechanism and be more suitable for real traffic flow．

lattice hydrodynamic model；next-nearest-neighbor site；mKdV

U491.4

A

1002-4026（2014）04-0092-06

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.04.016

2013-11-12

国家重点基础研究发展计划（973计划）（2012CB725403）

许阳（1989－），男，硕士研究生，研究方向为城市综合交通。