2个时滞复杂动态网络的广义同步

徐君群，张建雄，庞明宝

(1. 天津大学管理与经济学部，天津 300072；2. 河北工业大学土木工程学院，天津 300401)

2个时滞复杂动态网络的广义同步

徐君群1,2，张建雄1，庞明宝2

(1. 天津大学管理与经济学部，天津 300072；2. 河北工业大学土木工程学院，天津 300401)

针对2个不同节点和不同拓扑结构的时滞复杂动态网络，研究2个网络之间的广义同步问题.基于驱动-响应同步策略，对其中的一个网络施加控制，运用连续系统的Lyapunov稳定性分析方法，得到相应的广义同步判据.以某产品的生产者和该产品的消费者作为2个网络的动态节点，验证方法有效性.结果表明，通过设计满足广义同步判据的控制器，可以实现2个不同网络之间的广义同步.

复杂网络；时滞；广义同步；驱动-响应同步

现实世界中的许多系统可用复杂网络来描述，典型的例子如因特网、交通网络、电力网络以及细胞和新陈代谢网络等．由此，复杂网络理论研究逐渐吸引众多学者的关注[1-3]．复杂网络的动力学理论，可以有助于解释网络行为之间的逻辑因果关系．而复杂网络的同步现象的相关研究，作为复杂网络理论的关注热点和前沿分支，可为解释网络中的复杂动力学行为奠定理论基础．已有的关于复杂网络同步的研究主要探讨单个复杂网络的同步问题，即网络内部所有节点的动力学行为趋于一致，其目的是研究单个网络的整体行为表现[4-8]．然而，在现实生活中存在各种各样的复杂网络，它们彼此相互影响、相互制约．因此，研究不同网络之间的动力学行为特性(如同步现象)有重要的现实意义．例如，在供应链网络中，生产商、批发商和零售商之间相互影响，平衡生产商、批发商和零售商之间的利益关系对于维持整个供应链网络的正常运作十分重要．针对不同网络之间的同步问题的研究，以往的研究主要集中在探讨其完全同步问题．例如，Li等[9]对于2个具有相同拓扑结构的网络，提出2个单向耦合的网络同步判据；Tang等[10]利用自适应控制方法，分析复杂网络的完全同步问题．事实上，尽管不同网络的节点通常有不同的动力学行为(如参数不匹配或结构性差异)，但是这2个网络依然有可能表现出某种同步行为．这类同步称为广义同步[11]，它衡量了网络系统中各个节点行为的一致性程度．以生态网络中的捕食者网络和猎物网络为例，即便捕食者和猎物拥有不同的行为特性(甚至在同一网络中的每个个体行为都有很大差异)，两者最终会达到某种相似的状态．笔者针对2个不同耦合的时滞复杂网络，对不同网络之间广义同步问题进行论证．

1 模型描述

考虑一个由N个不同的节点构成的连续时间耗散耦合的时滞动态网络，它的第i个节点的状态方程为

式中：xi(t )为状态向量，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…, xin(t))T∈Rn；fi:Rn→Rn是一个光滑的向量值函数；Γ1为内部耦合矩阵，Γ1∈Rn×n；τj为耦合时滞，表示从节点j将信息传输给其他节点的时间延迟；cij为耦合结构矩阵C的元素，C=(cij)N×N∈RN×N，cij定义为若从节点i到节点j( j≠i)有连接，则cij＞0，否则

考虑另一个复杂动态网络，其第i个节点的状态方程为

式中：yi(t)为状态向量，yi(t)=(yi1(t),yi2(t),…,是一个光滑的向量值函数；Γ为内部耦合矩阵，Γ∈Rm×m；h(j=1,2,…,N)22j为耦合时滞；dij为耦合结构矩阵D的元素，D= (dij)N×N∈RN×N，它和矩阵C有相同的定义．众所周知，许多系统如Lorenz系统、Chen系统、Lü系统、Rössler系统、Chua电路、超混沌Rössler系统、超混沌Chen和Lü系统等等，均可以表示成

式中：A为系统在原点处的雅可比矩阵，A∈Rm×m；g( y)为非线性部分．

通常而言，函数gi(·)是全局Lipschitz连续的，即对于函数gi(·)，存在常数li，使得对任意的

因此，不失一般性，可以将施加控制后的响应网络式(2)表示为

式中ui(t)为控制输入．

2 广义同步

文中采用驱动——响应同步控制策略研究2个网络之间的广义同步问题．为此，分别将网络式(1)和式(2)设定为驱动网络和响应网络，关于2个网络之间的广义同步有如下定义．

定义1 设φi:Rn→Rm, i=1,2,…,N ，是连续可微的映射．若，则称网络式(1)和式(2)实现了广义同步．

定理1 设计如下的控制律，可以实现网络式(1)和式(2)的广义同步．

式中：Dφi(xi)为映射φi(xi)的雅可比矩阵；ei=yi-φi(xi)表示网络式(1)和式(2)第i个对应节点的广义同步误差；k为反馈增益．

证明 在控制器式(4)的作用下，网络式(1)和式(2)之间的误差系统可以描述为

2矩阵的Kronecker积．

将V( t)沿误差方程(5)的状态轨迹对t求全导数，可得

从而e(t)在[0,+∞]上平方可积．因此，根据Barbalat引理[12]可知，，即网络式(1)和式(2)实现了广义同步．

以上说明在定理1中，并没有假设耦合结构矩阵C和D为对称的或不可约的．也就是说，网络式(1)和式(2)可以是有向网络，也可以是无向网络，甚至可以是包含孤立节点或聚类的网络．另外，对内部耦合矩阵Γ1和Γ2也没有强加任何约束．此外，每个节点可以有不同的动力学特性，上述模型代表了一类广泛的复杂动力学网络．

推论1如果网络式(1)和式(2)具有相同的拓扑结构以及内部耦合矩阵，那么设计如下的控制器，网络式(1)和式(2)可以实现完全同步．

推论2如果网络式(1)和式(2)的对应节点有相同的动力学特性，即fi=Gi, i=1,2,…,N ，那么设计如下的控制器，这2个网络可以实现完全同步．

文献[10]运用了自适应控制方法，在对应节点有相同的动力学特性的情况下，研究了2个时滞复杂网络的完全外同步．对于尺寸为M的2个网络，根据文献[10]的方法，需要用M2+M个自适应控制器来实现同步，这极大地增加了控制成本．而根据推论2，只需要M个线性控制器就能实现同步，这在实际应用中更容易实现．

特别地，如果网络式(1)和式(2)有相同的拓扑结构和内部耦合矩阵，则控制器(8)可以进一步简化为ui=-kei, i=1,2,…,N ，就能实现2个网络的完全同步.针对同样的问题，文献[9]在fi=Gi=f, i =1, 2,…,N的假设条件下，仅得到了局部同步判据，这也说明本文的方法有较小的保守性．

3 数值算例

由于网络系统出现的混沌现象，如库存管理网络系统或交通网络系统中的混沌现象，已被许多模型证实，混沌系统作为网络节点，较好反映网络的复杂性．以供应链网络为例，为保证其稳定发展，生产者和消费者之间需要保持某种平衡．

假设生产商生产该产品的状态方程为超混沌Lü系统[13]，其动力学方程为

式中：x1表示该产品的产量；x2表示该产品的质量；x3表示该产品的价格；x4表示该产品提供的服务．

消费者关于该产品的状态方程为统一混沌系统[14]，其动力学方程为

式中：y1表示顾客对该产品的期望值；y2表示顾客对该产品的满意度；y3表示顾客对该产品的需求量；θ∈[0,1]．

式(9)中给定a=36，b=3，c=20，当-1.03≤d≤-0.46时，系统(10)存在一个周期轨道；当-0.46＜d≤-0.35时，系统(10)存在一个混沌吸引子；当-0.35＜d≤1.30时，系统(10)存在一个超混沌吸引子．

分别选取系统(9)和系统(10)作为驱动网络和响应网络的节点，论证本文提及的广义同步判据方法的有效性．此时，定理1的控制器就相当于企业根据市场调查的结果反馈制定生产决策，即通过调查得到的xi(i=1,2,3,4)来调整其状态yj(j=1,2,3)．

假设消费者对该产品的期望值、满意度以及需求量和产品本身的产量、质量、价格以及服务满足关系(即广义同步映射)

则

2个网络具有不同耦合结构：驱动网络是一个无向星形网络，响应网络是一个有向环形网络，如图1所示．

图1 2个网络的拓扑结构Fig.1 Topological structures of two networks

设定网络的尺寸为M=50，Γ1和Γ2均取为具有适当维数的单位矩阵．设置驱动网络中第i个节点的参数为θ=|sini2|，响应网络中第i个节点的参数为．于是d的值从-1.0变化到1.3，即这些节点的动力学分别从周期轨道变化到超混沌吸引子．

图2 误差e(t)的时间响应Fig.2 Time response of the error e(t)

4 结 语

本文针对不同动力学节点和不同拓扑结构的情况，研究2个时滞动态复杂网络广义同步问题．基于驱动-响应同步策略，对其中一个网络施加控制，运用连续系统的Lyapunov稳定性的分析方法，得到相应的广义同步判据．在此基础上，以某产品的生产商和该产品的消费者作为2个网络动态节点，验证了所提方法的有效性．结果显示，通过设计有效控制器，可实现不同复杂网络之间广义同步．所得结果可用于指导实际网络的平衡发展，如供应链网络、能源供求网络、交通网络等．对于多个网络的广义同步问题以及应用有待后续研究．

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(责任编辑：孙立华)

Generalized Synchronization Between Two Different Complex Delayed Networks

Xu Junqun1,2，Zhang Jianxiong1，Pang Mingbao2
(1. College of Management and Economics，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Civil Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China)

The problem of generalized synchronization between two different networks was investigated，and these two networks consist of different nodes and different topological structures. Based on the drive-response strategy，the corresponding synchronization criterion was given via the Lyapunov stability scheme. A numerical example was cited to show the effectiveness of the proposed method. In the numerical example，the producer and the consumer were adopted in the driven network and the response network，respectively. It is shown that these two networks can achieve the generalized synchronization when the designed controller satisf i es the proposed criterion.

complex network；time-delay；generalized synchronization；drive-response synchronization

N941.3

A

0493-2137(2014)01-0081-05

10.11784/tdxbz201207015

2012-07-04；

2012-09-12.

国家自然科学基金资助项目(61004015)；河北省自然科学基金资助项目(E2011202073).

徐君群（1983— ），男，博士研究生.

徐君群，xujunqun@tju.edu.cn.