对数学教学中应用问题的一点思考

马翊

[摘要]解决实际问题的能力是指：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。强调数学课程教材中的应用，并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”, “在例题和习题中增加一些应用题”，而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的考虑。具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶。

[关键词]设计 原则性 规律性 组织化

数学的应用问题一直是数学教育家关注的重要问题。著名数学教育家弗兰登塔尔曾对数学教学表示了忧虑。他认为，数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。学习是指形成这种系统化的数学活动过程。而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统。是一个漂亮的封闭系统，甚至封闭到没有入口和出口… … 学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数学化过程。如果需要，也可以包括从数学本身出发的数学化过程。学生应该形成一个相对开放的系统，至少是一个既有入口又有出口的封闭系统。

《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称大纲））提出“培养解决实际问题的能力，并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教学目的之一。解决实际问题的能力是指：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。数学创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，加以探索和研究。实质上这是加强了数学应用在教学中的地位。

《大纲》 对应用数学知识解决实际问题只做了原则性的说明。如何更好地贯彻大纲中的“应用”，还有一个再发现、再创造的过程。

我们认为，数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论，用数学的方法，用数学的思想，还包括用数学的语言，用数学的观念，用数学的精神。因此，强调数学课程教材中的应用，并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”, “在例题和习题中增加一些应用题”，而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的考虑。具体说应注意的几个问题：

一、应用的层次性

1.在数学学科本身的应用。

由于数学学科本身具有逻辑严密的特点，前面知识的学习为后面的知识做准备。换句话说，前面的知识要应用到后面知识的学习中。

2.在其他相关学科的应用，特别是物理及工程技术中的应用。

3 .应用到现实情境中去。

由于高中学生学习的知识毕竞还是有限的，他们用数学知识解决的现实问题，与应用数学家所面临的现实问题相比，充其量是个“准数学问题”，至少是“半数学化”的问题，是一个经过人为加工的“数学半成品”。

4.发现问题，提出问题，分析问题、解决问题，这四者之间，能够发现问题，提出问题，这是最高的要求。能够解决已经数学化了的问题，对学生来讲，是个技能化的过程。而能够发现问题，提出问题，分析问题则是个能力问题。

5.数学语言的灵活运用是应用的最高层次，特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化，以及用数学语言进行交流。

二、应用与基础知识的关系

对高中学生来讲，掌握数学的基础知识应该是教学的首要目标，应用是以掌握数学知识为前提的。应用不仅仅是目的，更重要的是过程，即我们不仅要使学生树立起数学应用意识，认识到数学的广泛应用性和应用价值，具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶。很难想象，没有扎实的基础知识，谈何应用？

三、从数学学习和教学活动看“应用”

数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的特点。从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象；脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过人加工了的思想，是人对自然界的概括和认识。数学的逐级抽象性的特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而数学的学习活动也是分层次的、学习的最低层次是数学的组织：通过学生自己的猜测，探索，从现实问题情景中提炼数学问题，发现问题及其规律，对问题有整体理解，这是学生数学地组织经验材料的活动层次；学习的第二个层次是将数学问题组织成原理，并用数学语言模式去描绘原理。即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究，构筑抽象理论意义的数学原理。这是学生组织经验领域的活动，是进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程：第三个层次是数学原理的验证、推广阶段．如果说前两个层次是“发现”原理的過程，那么这个层次就是验证推广的阶段。验证的过程实际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程；最后一个层次是反省上述学习过程将抽象结果应用于实际，用以指导现实生活。此层次的反省活动，是对前述认识过程的进一步认识，是对前述学习过程的反思，对整个学习过程起到调节和监控作用。斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段，经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。这三个阶段构成了学生学习活动的完整过程。