广义严格对角占优阵的新判定条件

崔丽娜

摘 要：阐述了广义严格对角占优阵的基本内涵，根据-链对角占优阵的特点，采用不等式缩放方法探求正对角因子的方法，给出了一组新的广义严格对角占优阵的判定条件，并利用实际算例验证了新方法的有效性。

关键词：对角占优阵 非零元素链 正对角矩阵 新判定条件

1.知识准备

令A=（aij）∈Cn×n，N={1，2，…，n}=N1∪N2，N1∩N2=，∧i（A）=∑j∈Nj≠i|aij|。如果|aij|>∧i（A）（i∈N），则A为严格对角占优阵，记为A∈D。如果有正对角矩阵X可AX使为严格对角占优阵，则A为广义严格对角占优阵， 记为A∈D*。如果有α∈[0，1]，可使|aii>∧αi（A）S1-αi（A），i∈N，则A为严格α-链对角占优阵，记为A∈D*α。

广义严格对角占优阵在数学物理、计算数学等领域中得到了广泛的应用，然而其判定方法却十分困难。

2.判定方法

定理一：令A=（aij）∈Cn×n，当有N1∩N2=N，使得

|aii|>∑k≠ik∈N1|aik|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|aij|∧k（A）|akk|>∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1

則可以判定A为广义严格对角占优矩阵。

证明：令mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk||aii|-∑k≠ik∈N1|aik|，i∈N1

mj=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|，j∈N2当∑k∈N2|ajk|=0时，则mj=+∞，由题可知0≤mj

因此存在d>0使得 0≤maxi∈N1m1

令正对角矩阵X=diag（xi|xi=d，i∈N1；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），则当i∈N1时，

|bii|-∧i（B）=d（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）-∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|>0即|bii|>∧i（B），

即|bii|>∧i（B）。

当j∈N2时，|bii|-∧i（B）=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|-d∑k∈N1|ajk|>0

即|bjj|>∧j（B）。

因此可判定B为严格对角占优矩阵，而X为正对角矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵。

定理二：令A=（aij）∈Cn×n，当有N1∩N2=N，使得

∧i（A）>∑k≠ik∈N1|aik|∧k（A）|akk|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|）（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|）>∑k∈N1|ajk|·∧k（A）|akk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1，j∈N2

则可以判定A为广义严格对角占优矩阵。

证明：令 mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|，i∈N1

mj=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|∧k（A）|akk，j∈N2

当∑k∈N1|ajk|=0时，则mj=+∞，由题可知0≤mi

因此存在d>0使得 0≤maxi∈N1mi

令正对角矩阵X=diag（xi|xi=d，i∈N1；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），则当i∈N1时，

|bii|-∧i（B）=d（∧i（A）-∑k≠ik∈N2|aik|∧k（A）|akk|）-∑k∈N2|aik|∧k（A）|akk|>0，

即|bii|∧i（B）。

当j∈N2时，|bjj|-∧j（B）=∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|-d∑k∈N1|ajk|>0

即|ajj|>∧j（A）。

因此可判定B为严格对角占优矩阵，而X为正对角矩阵，则A为广义严格对角占优矩阵。

定理三：令A=（aij）∈Cn×n，当有N1∩N2=N，使得

|aii|>∑k≠ik∈N1|aik|+∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1；

（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（（∧j（A）-∑k≠jk∈N2|ajk|∧k（A）|akk|）≥∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|，i∈N1，j∈N2，且有：

I（A）={i∈N1，j∈N2|（|aii|-∑k≠ik∈N1|aik|）（∧j（A）-∑k≠ik∈N2|ajk|∧k（A）|akk|=∑k∈N1|ajk|·∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk|}≠

同时对于i∈I（A），有非零元素链air1，ar1r2，…，ar1j使得j∈（N_I（A））≠，则可以判定A为广义严格对角占优矩阵。

证明：令 mi=∑k∈N2|aik|·∧k（A）|akk||aii|-∑k≠ik∈N2|aik|，i∈N1

mi=∧j（A）-∑k≠ik∈N2|ajk|·∧k（A）|akk|∑k∈N1|ajk|，j∈N2

当∑k∈N1|aik|=0时，则mi=+∞，由题可知0≤mi

取maxi∈N1mi=d=minj∈N2mj

令正对角矩阵X=diag（xi|xi=d，i∈Ni；xi=∧i（A）|aii|，i∈N2），又令B=AX=（bij），则当i∈（N1∩I（A））时，d=mi，则有