一道课本例题的探究及拓展

梁瑾

《普通高中课程标准实验教科书数学（A版）》已试行两个循环，深受好评。新教材紧跟时代发展，以生动活泼的呈现方式，激发学生学习兴趣，以恰当的问题引领、培养学生问题意识和探索精神。而教材例题设置的层次性、多样性和探究性更成为培养学生创新精神和实践能力的重要平台。

1。一道课本例题

课本选修2-2，87页例3：用数学归纳法证明：当n∈N*时，12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

证 （1）当n=1时，12=1，1×（1+1）×（2×1+1）16=1，结论成立。

（2）假设n=k时，结论成立，即

12+22+32+…+k2=k（k+1）（2k+1）16，

那么12+22+32+…+k2+（k+1）2

=k（k+1）（2k+1）16+（k+1）2

=（k+1）（2k2+7k+6）16=（k+1）（k+2）（2k+3）16。

所以当n=k+1时，命题也成立。

根据（1）和（2），可知结论当n∈N*时都成立。

2。例题探究

还有没有什么其他方法来推导公式12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）16。

分析这可以看成幂数列{n2}的前n项和的问题，可以运用基本数列求和的方法及结论解决这个问题。

解利用恒等式

（k+1）3-k3=3k2+3k+1。

取k=1，2，…，n，得

23-13=3×12+3×1+1，

33-23=3×22+3×2+1，

……

（n+1）3-n3=3n2+3n+1。

上面各式相加，得

（n+1）3-1=3n1k=1k2+3n1k=1k+n，（2）若A站在队伍的两头，有多少种不同的站法？若A既不站在排头，也不站在排尾呢？

（3）A、B若不相邻，有多少种不同的站法？

（4）A必须站在B的右边，有多少种不同的站法？

（5）女生不站两端，有多少种不同的站法？

6.模型法

教师引导学生让学生通过分析、综合、类比、概括、抽象、归纳将人口增长、环境保护、分期付款、市场分析、最优方案、科学技术等问题转化为数学模型，并运用数学知识解决问题。模型法能帮助学生运用数学知识解决生产生活中的问题，有利于培养学生的数学应用意识。

例5某地为促进当地滩涂养殖业的发展，将价格控制在合理的范围内，决定对海水养殖业进行补贴，若某种鱼类的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，据市场调查显示，当16≤x≤28时，该鱼类的市场日供应量M千克与市场日需求量N千克近似地满足关系：

M=2000（x+t-16）（x≥16，t≥0），N=100080-（x-16）2（16≤x≤28）。

当M=N时市场价格称为市场平衡价格。

（1）将市场平衡价表示政府补贴的函数，并求出该函数的定义域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府至少每千克补贴多少元？

三、近年来高中数学习题配置的发展趋势

1.注重应用性。在生产实际和科技发展中，数学有着广泛的应用，教师要引导学生深入挖掘数学知识的现实背景，了解知识的来龙去脉，感受数学的应用价值。

例6某品牌饮料制造商制造并出售球形瓶装饮料，已知瓶子制造成本是1。2πr2分，每出售1ml的饮料，可获利0。3分，且瓶子的最大半径为6cm。

（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

2.强调生活性。数学来源于生活，应用于生活。新课程倡导教师以教材为蓝本，注重数学与现实生活的联系，从学生的生活经验出发，创造愉悦的学习氛围，引领学生通过自主探索、合作交流等活动运用数学知识解决生活中的问题。

例7建筑一个容积为72m3，深为4。5m的长方形蓄水池，池壁每平方造价为a元，池底每平方造价为2a元。求总造价y与底的一边长为x米的函数关系系，并指出其定义域。

3.增加开放性。开放性问题是指条件不完备、方法不唯一或无唯一结论的习题。教师要设置开放式问题，为学生创造有利于学生主动探索、积极发展的空间，从而培养学生的求异思维能力。

例8已知f（θ）=sin2θ+sin2（α+θ）+sin2（β+θ），其中α、β是满足0≤α<β≤π的常数，请问α、β为何值时，f（θ）的值恒为定值。

总之，习题是数学教学的重要组成部分，其配置的好坏直接影响着学生的学习效率。因此我们高中数学教师要对习题配置作进一步的探索研究，优选或自编有质量的习题，为培养学生的学习兴趣，提高学生的数学综合能力而不懈努力。从而n1k=1k2=113[（n+1）3-3n1k=1k-n-1]

=113[（n+1）3-3·n（n+1）12-n-1]

=116n（n+1）（2n+1）。

3。例题拓展

进一步的13+23+33+…+n3=？如何导出？

方法一仿照上面的证法，利用恒等式（k+1）4-k4=4k3+6k2+4k+1。

取k=1，2，…，n，得

24-14=4×13+6×12+4×1+1，

34-24=4×23+6×22+4×2+1，

……

（n+1）4-14=4n3+6n2+4n+1。

上面各式相加得

（n+1）4-14=4n1k=1k3+6n1k=1k2+4n1k=1k+nendprint

n1k=1k3=114[（n+1）4-6n1k=1k2-4n1k=1k-n-1]

=114[（n+1）4-6×116n（n+1）（2n+1）-4×n（n+1）12-n-1]

=114（n+1）[（n+1）3-n（2n+1）-2n-1]

=n2（n+1）214。

方法二构造函数f（k）=k2，则

f（k+1）1f（k）=（k+1）21k2=（k-1）2+4k1k2，

故k2f（k+1）-（k-1）2f（k）=4kf（k）。

在上式中，取k=1，2，…，n，得

12·f（2）=4f（1），

22·f（3）-12·f（2）=4·2f（2），

32·f（4）-22·f（3）=4·3f（3），

……

n2f（n+1）-（n-1）2f（n）=4·nf（n）。

各式相加，得

4n1k=1k3=4n1k=1kf（k）=n2f（n+1）=n2（n+1）2，所以

Sn=13+23+…+n3=n2（n+1）214。

方法三分析不妨可以考虑将奇数数列1，3，5，7，9，11，13，…，按如下规则分租：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…，显然第k组的所有元素和为k3。于是前n个正整数的立方和就是上面分组中前n组的所有奇数的和。所以现在关键是要求出第n组中的最后一个奇数。根据每组的最后一个奇数1，5，11，19，29，41，…规律得出n组中的最后一个奇数为n2+n-1，共有1+2+3+…+n=112n（n+1）个奇数。

解令第n组中的最后一个奇数为an，则

an=（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）+a1=（4+6+8+…+2n）+1=n2+n-1。

故13+23+33+…+n3=1+3+5+7+…+（n2+n-1）

=112n（n+1）[1+（n2+n-1）]12

=n2（n+1）214。

利用以上结果，可以进一步得到：

22+42+62+…+（2n）2

=4（12+22+32+…+n2）

=2n（n+1）（2n+1）13，

从而12+32+52+…+（2n-1）2

=（12+22+32+…+（2n）2）-（22+42+62+…+（2n）2）

=2n（2n+1）（4n+1）16-2n（n+1）（2n+1）13

=n（4n2-1）13。

同理可得：

23+43+63+…+（2n）3

=8（13+23+33+…+n3）

=2n2（n+1）2。

13+33+53+…+（2n-1）3

=n2（2n2-1）。

进而可得到

-12+22-32+42+…+（-1）n·n2

=112n（n+1），n为偶数，

-n（n+1）12，n为奇数。

13-23+33-43+…+（-1）n+1·n3

=-114n2（2n+3），n为偶数，

114（n+1）2·（2n-1），n为奇数。

4。结语

无论在推导正整数平方和还是正整数立方和的过程中都利用了数列求和中常用的方法——裂项相消法。我们都知道在解一类特殊数列（ 由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列） 求和问题的一般方法是错位相减法。从学生的解答情况来看，学生对错位相减法的基本步骤掌握较好，但在计算过程中出错的现象比较普遍。实践证明，解决此类问题的方法除了错位相减法外，裂项相消法也是解决此类问题的好方法。因此，在平时教学中，教师引导学生掌握常规方法的同时，还要注意培养学生大胆创新勇于实践自主探究的精神。

例如：求数列{2n-512n}的前n项和中，我们不妨可以考虑裂项相消法，关键是如何裂项，结合数列通项公式的特点可以裂成2（n-1）-112n-1-2n-112n。

教材是教师教学的依据和根本，只有教师真正领悟教材的编写意图，不断挖掘教材课本的资源，才能提高课堂的教学效果，充分调动学生学习的主动性和积极性，真正落实新课程改革精神。endprint