蒋志学
为了改变教学习题配置的滞后性,走出数学解题教学的低效状态,有关教育专家纷纷呼吁“解决问题”配置考题,以问题解决为主导,引领学生经过分析、讨论将实际问题建成数学模型,再运用数学知识解决问题,从而提高学生的数学应用意识。
一、数学习题的功能
1.知识功能
通过数学习题的练习,使学生获得基础的数学知识,形成基本技能,从而主动建构知识体系。
(1)以习题建立新旧知识之间的联系,让学生产生新的思考,带着疑问学习新知。
(2)以习题巩固知识。概念的掌握离不开形成和同化的过程,巩固练习能将新的概念纳入到已有的认知结构中,形成新的知识网络。
(3)通过解题了解学生概念、定理、公式的掌握情况,从而调整思路,改变策略,实施更为有效的教学方法。
2.教育功能
(1)思维训练。
问题是思维活动的载体,学生理解问题、探索问题、转换问题直至解决问题都离不开有效的思维活动。教师要引导学生准确阅读习题,理解文本,仔细观察显性条件,深入挖掘隐性条件,培养思维的精细性;掌握运算技巧,提高计算准确性,从全方位审视,探寻最佳的解决方案,培养思维的敏捷性;通过知识的类比转化,将未知的问题、不熟悉的问题转化为已知的、熟知的问题,培养思维的灵活性。学生不唯上、不唯书,从多角度考虑问题,敢于打破常规,培养思维的创造性。
(2)思想教育。
数学题取材于社会生产和生活实际,通过解题激发学生的学习兴趣。挖掘数学题的来龙去脉,寻找多样化的解决策略,对学生进行辩证唯物主义的渗透和熏陶。
(3)情感培养。
解题的过程不是一帆风顺的,往往充满着曲折艰辛,学生容易受到挫折,教师要激发兴趣,引导学生思考、讨论,增强解题信心,培养坚韧的意志。
(4)审美功能。
数学之美无处不在,教师要引导学生欣赏、感受数学题的统一、和谐、对称之美,接受美的熏陶。
3.评价功能
学生的基础水平和学习能力可以通过解题来检查和评定,教师可以通过一题多解,评价学生的思维发散能力,还可以通过解决实际问题,评价学生应用数学的意识。
二、数学习题的编制方法
1.演绎法
教师从某一真命题出发,通过逻辑推理、特殊值代入等方法编制数学题。
例1根据不等式
1+112+113+…+11n≥2(n+1-1) (n∈N+),
令2(n+1-1)=20,有n=120,据此得到新题:
证明:1+112+113+…+111016063≥22014。
2.变换法
从题目的已知条件出发,保留原有的数量关系,将问题加以变换,从而得到新题的一种编制方法。
例2求二次函数f(x)=x2+2(2a-1)x+5a2-4a-2在区间[0,1]上最小值g(a)的表达式。
变式一设a为实数,记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a)。
①设g(x)=1+x+1-x,求x的取值范围,并将f(x)表示为t的函数;
②求g(a);
③试求满足g(a)=g(11a)的所有实数a。
3.逆推法
教师不再是顺着题目给定的条件一步一步地探索结果,而是反其道而行之,从题目的结论出发,逆推出所需条件的一种编制数学习题的方法。如等比数列a1,a2,a3,…,an,…当公比q≠1时,前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1-anq11-q。已知a1,q,n或a1,an,q可求an或n,亦可运用倒推法命题。
例3在等比数列{an}中,已知:a1=1,q=3,Sk=364,求ak。
4.类比法
类比是一个“由此及彼”的分析方法,人们运用某种熟知的事物属性,推测与之类似的事物的属性的推理方法,但其结论必须要通过实验来检验。如在同一平面内,两个边长都是a的正方形,其中一个正方形的一项点在另一个正方形的中心,则这两个正方形的重叠部分的面积恒为a214。由此类比新题:
例4在空间内,有两个棱长均为a的正方体,其中一个正方体的一顶点在另一个正方体的中心,则这两个正方体重叠部分的体积是多少?
5.拓展法
教师从一道基本的题目出发,对题目的数量关系和图形的形状位置加以变换,由原选的一道题拓展变化成若干道题,以达到触类旁通、举一反三的效果。如有A、B、C三名男生和D、E两名女生站成一排,如果男生站在一起,有多少种排法?教者通过拓展变换,演变成一系列的题目。
(1)若A站在队伍的中间,有多少种不同的站法?