间断激励函数Hopfield神经网络解的存在性

2014-05-25 00:28潘玉峰
晋中学院学报 2014年3期
关键词:集值晋中定理

潘玉峰

(晋中学院数学学院,山西 晋中 030600)

间断激励函数Hopfield神经网络解的存在性

潘玉峰

(晋中学院数学学院,山西 晋中 030600)

不考虑网络激励函数的有界性与单调性,本文对间断激励函数的神经网络进行了研究.通过Leray-Schauder选择定理和广义的Lyapunov方法,得到一个能够保证网络的解存在性的充分条件.

Hopfield神经网络;间断激励函数;Leray-Schauder选择定理

1 预备知识

设Rn为n维欧氏空间,Pf(c)(Rn)(Pk(c)(Rn))为Rn的非空闭凸(非空紧凸)子集的集合.设多值函数F∶T=[0,ω]→Pf(Rn)是可测的,如果对所有x∈Rn的-值函数t→d(x,F(t))=i nf{‖x-υ‖∶υF(t )}是可测的.

设E⊂Rn.如果任意x∈E,存在非空的F(x)⊂Rn,则说映射x→F(x)是由E到Rn的集值映射;对x0∈E,如果任意开集N⊂F(x0),存在x0的开集M使得F(M)⊂N,就说集值映射F在x0处是上半连续的.

以下为Leray-Schauder选择定理:

引理1.1如果是一个巴拿赫空间C⊆X非空凸集,0∈C,G∶C→Pkc(C)为从有界集到相对紧集的丄半连续的集值映射,则下面结论有一条成立:

(1)集合Γ={x∈C∶x∈λG(x),λ∈(0,1)}无界;

(2)G(·)有一个不动点,即存在x∈C使得x∈G(x).

考虑以下H opf i el d神经网络模型:

其中,D=diag(d1,d2,…,dn)为对角矩阵,且di>0,i=1,2,…,n.表示系统的自制系数;A=(aij)n×n表示连接权矩阵,aii<0;g(x)=(g1(x1),g2(x2),…,gn(xn))为对角函数,表示网络输入输出的激励函数;I(t)=(I1(t1),I2(t2),…,In(t))T为以ω周期的向量函数,表示网络的外部输入.

在这里假设I(t)在T=[0,+∞]上连续.对激励函数满足以下假设:

(H1)gi在R的任意有限区间内至多有有限个间断点ρk,在ρk处gi存在左右极限gi()与gi(),且

(H2)存在非负常数k1,k2使得

对系统(1.1),由于其激励函数是间断的,有必要在这里对间断右端的方程的解做出解释.

定义如下:

定义2.1方程x∶[0,b)→Rn,b∈[0,+∞)是系统(1.1)在[0,b)上的解,如果:

(1)x在[0,b)上绝对连续;

(2)存在一个可测函数γ=(γ1,γ2,…,γn)T∶[0,b)→Rn,使得t∈[0,b)时,几乎处处(a.e.)有γ(t)∈K[g(x(t)]),且

对任何满足(2)的方程叫做与解x相关的输出解.由于解满足微分包含

因此,在此定义下,可以说解x为系统(1.1)的Fi l l i pov解.

定义2.2定义在[0,+∞)上,具有初值x(0)=x0的系统(1.1)解称作以ω为周期的周期解,如果x(t+ω)= x(t),t>0.

若V∶Rn→R,且满足(i)在Rn内相关;(i i)x≠0时V(x)>0,仅当x=0时V(0)=0;(i i i)V(x)径向无界,即‖x‖→+∞时V(x)→+∞时;则说是C相关的.

引理2.2如果V(x)∶Rn→R是C-相关的,x(t)∶[0,+∞)→Rn在[0,+∞)的任何紧集中绝对连续,则x(t)与V(x(t))∶[0,+∞)→R在t∈[0,+∞)→R上几乎处处可导,且

2 解的存在性

这一部分,主要研究了系统(1.1)解的存在与周期解的存在性.先证明了系统(1.1)在上至少存在一个解,只有在此基础上,才能对周期解的存在性与稳定性进行进一步的讨论.首先来看解的存在性.

定理2.1如果假设(H 1)与(H 2)成立,则对任意初值x(0)=x0,系统(1.1)在[0,+∞)上至少存在一个解.

证由于x(t)→Dx(t)+AK[ g(x])+I(t)为丄半连续的集值映射,且值域非空紧凸,局部解的存在性能够得到保证.I(t)为以ω为周期,且在[0,+∞)上连续,从而I(t)有界,即存在M>0,使得‖I(t)‖≤M.对t∈[0,+∞)几乎处处有

根据Gronwal l-Bellman不等式可以得到

由延拓定理,此定理得以证明.

3 结论

这篇论文,证明了Hopfield神经网络解的存在性,其中网络的激励函数可以是无界或非单调的.这比先前以激励函数为单调或有界为前提的研究有所突破.

[1]J.P.A ubin,A .C elliana.differentialInclusions[M ].B erlin:Spring-V erlag,1984.

[2]J.P.A ubin,H .Frankow ska.Set-valued A nalysis[M ].B oston:B irkauser,1990.

[3]J.P.A ubin.Viability Theory[M ].Boston:B irkauser,1991.

[4]F.H .C larke.O ptim ization and nonsm ooth A nalysis[M ].N ew Y ork:W iley,1983.

[5]Q . D ong, K . Matsui, X . Huang. Existence and stability of periodic solutions for H opfield neural netw orks equations with periodic input[J].N onlinearA nal.2002(49):417~479.

[6]J.D ugundji,A .G ranas,Fixed PointTheory,in:M onografie M atem atyczne,vol.123,PW N ,1982.

[7]A .F. Filipov.D ifferential E quations W ith D iscontinuous R ight-H and Side [M ]. B oston:M athem atic and its A pplications(SovietSeries),K luw erA cadem ic,1988.

[8]M . Forti, P. Nistri. Global convergence of neural netw orks with discontinuous neuron activations, IE E E Trans [J]. C ircuits Syst.2003,50(11):1421~1435.

(编辑 郭继荣)

O175.1

A

1673-1808(2014)03-0020-02

2014-03-22

潘玉峰(1979-),男,山西静乐人,晋中学院数学学院,讲师,硕士,研究方向:非线性分析.

猜你喜欢
集值晋中定理
晋中国家农高区无花果采摘正当时
J. Liouville定理
具有初边值条件的集值脉冲微分方程的平均法
晋中市委统战部调研晋中国家农高区(山西农谷)
加快培育百亿企业 建好晋中国家农高区
A Study on English listening status of students in vocational school
晋中:率先出台提升乡村治理能力“25条”
“三共定理”及其应用(上)
上半连续集值函数的区间迭代
图像面积有限的集值映射