变化的电流产生的热量不能用平均值计算*

王丽军 王语涵 付宇隨 隗立阔

（北京师范大学良乡附中 北京 102488）

变化的电流产生的热量不能用平均值计算*

王丽军 王语涵 付宇隨 隗立阔

（北京师范大学良乡附中 北京 102488）

对2009年北京市某区的一道关于电磁感应的模拟题产生质疑，师生共同讨论、分析、整理，认为题目用电流的平均值算出的变化电流产生的热量值存在错误．

变化的电流 热量 平均值

电流通过导体时，由于导体中存在电阻，会产生焦耳热，产生的热量Q跟电流I的二次方成正比，跟电阻R成正比，跟通电时间t成正比，即Q＝I2Rt，这就是焦耳定律．应用焦耳定律计算热量时，如果是恒定电流，则可以用上面公式直接计算，但如果电流是随时间变化的，一般来说需要通过积分运算．中学阶段一般不要求运用微积分运算，这就要用到“有效值”的概念．

例如，2009年北京市某区有一道高三模拟题．

【题目】如图1（a）所示，足够长的光滑平行金属导轨MN，PQ所在平面与水平面成θ＝30°角，两导轨的间距l＝0．50 m，一端接有阻值R＝1．0Ω的电阻．质量m＝0．10 kg的金属棒ab置于导轨上，与轨道垂直，电阻r＝0．25Ω．整个装置处于磁感应强度为B＝1．0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下．t＝0时刻，对金属棒施加一平行于导轨向上的外力F，使之由静止开始运动，运动过程中电路中的电流随时间t变化的关系如图1（b）所示．电路中其他部分电阻忽略不计，g取10 m/s2，求：

（1）4．0 s末金属棒ab瞬时速度的大小；

（2）3．0 s末力F的瞬时功率；

（3）已知0～4．0 s时间内电阻R上产生的热量为0．64 J，试计算F对金属棒所做的功．

图1

前两问比较简单在此不再赘述，只分析第（3）问．

过程分析：从图像中我们可以看出电流I随时间呈线性变化，即动生电动势随时间呈线性变化，所以金属棒在导轨上做的是匀加速运动，所受合外力不变．由于金属棒所受的安培力随电流的变化而变化，所以外力F为变力．由前两问可以求出金属棒ab运动的加速度a＝0．5 m/s2，4．0 s末金属棒ab瞬时速度的大小v4＝2 m/s．

第（3）问中求F对金属棒所做的功有两种办法，即动能定理和积分．

解法1：运用功能关系求解

设经过时间t，电阻R上产生的焦耳热为Q，金属棒ab上产生的焦耳热为Q′．根据焦耳定律，有

由题知，在0～4．0 s时间内Q＝0．64 J，由

解法2：利用积分求解

对金属棒受力分析，可以得出

金属棒ab所受的安培力为

因金属棒ab做匀加速直线运动，有

将式（2）、（3）代入式（1），并代入具体数值，得

在d t时间内F做功为

在0～4．0 s时间内F对金属棒所做的功为

以上两种解法原理和运算都是正确的，为什么得出的结果不一样呢？通过比较可以看出第二种解法没有用到“0～4．0s时间内电阻R上产生的热量为0．64 J”这个已知条件，由此推测很有可能是已知条件出现了问题，那么电阻R上实际产生的热量是多少呢？题目中给出的条件合适不合适呢？下面利用积分的方法求0～4．0 s时间内电阻R上产生的热量．

解法1：

根据所给的图像信息可知电流I随时间呈线性变化，即i＝0．2t．

在0～4．0 s时间内电阻R上产生的热量Q为代入数据得

电路中产生的总热量等于这个过程中金属棒克服安培力做的功，即

所以0～4．0 s时间内电阻R上产生的热量实际应为0．853 J．

猜测：题目中的Q＝0．64 J是如何来的呢？

题目中已知R＝1．0Ω，t＝4 s，由图像可知，这个过程中电流的平均值I-＝0．4 A，代入公式Q＝I2Rt得Q＝0．64 J．之所以出现问题，原因是电流与时间成正比不等价于电流的平方与时间成正比，所以对电流取平均后算出的热量是不正确的．这个道理在交变电流一章中有涉及，为了计算电流产生的能量定义了电流的有效值，而有效值和平均值一般情况下并不相等．

借鉴交流电的研究方法，引用电流的有效值的概念．有效值是根据电流的热效应定义的，一个变化的电流通过某一阻值的电阻器，在一定时间内产生的热量，如果跟一个恒定直流电通过该电阻器在同样时间内产生的热量相等，则该直流电的电流就叫交流电的有效值．要计算有效值，依据焦耳定律公式，可得

但这个电流的“有效值”与交变电流的有效值不同，大小与所取的时间有关．

在0～2 s的时间内电流的有效值

在2 s～4 s的时间内电流的有效值

从上面的分析可以看出，在电磁感应现象中，计算热量的问题不能用电流的平均值．虽然物理上一般不要求用微积分求解，但由于新课程实施后数学要求的变化，现在高二的学生已经学习了微积分的初步知识，学生完全有能力求解．教师在命题的过程中，对此类问题要认识清楚，不能疏忽，避免出现类似的错误．

Using the Average Value of Changing Current to Calculate the Heat Is Wrong

Wang Lijun Wang Yuhan Fu Yuxuan Wei Likuo
（Liangxiang High School Affiliated to Beijing Normal University，Beijing 102488）

The authors questioned an electromagnetic induction simulation question in 2009 of one district in Beijing．After the teacher and students discussed，analyzed and sorted，the paper considered that the calorie value calculated by average value of Changing current is error．

changing curren；，heat；average value

*本校物理组独立承担“高中学生物理学科能力培养的实证研究”是房山区“十二五”教育科学规划课题，北京市房山区2012年优秀人才培养资助个人项目．

2014- 04- 25）