一个新四维混沌系统的Hopf分岔分析

杜文举,俞建宁,张建刚,张 莉,安新磊

(1．兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070；2．兰州工业学院基础学科部，甘肃兰州 730050)

一个新四维混沌系统的Hopf分岔分析

杜文举1,俞建宁1,张建刚1,张 莉2,安新磊1

(1．兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070；2．兰州工业学院基础学科部，甘肃兰州 730050)

通过非线性动力学理论，分析了一个四维混沌系统平衡点的稳定性及其基本动力学特性，并通过中心流形理论和范式理论，给出了决定系统周期解稳定性和方向的表达式．最后，通过数值仿真证明了理论分析的正确性．

四维混沌系统；Hopf分岔；Poincaré截面；Lyapunov指数；范式理论

对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的拓朴结构会发生本质的变化，称这种变化为分岔．Hopf分岔是一类比较简单但很重要的动态分岔，它不仅在动态分岔研究和极限环研究中有重要的理论价值，而且因为它密切联系着自激振动产生的问题，所以在实际问题中也有着很广泛的应用[1-2]．文献[3]对一个新的类Lorenz系统进行了研究，通过严格的数学推导分析了该系统平衡点的存在性和稳定性，从理论方面研究了该系统的Hopf分岔及余维二退化Hopf分岔，给出了系统发生Hopf分岔和余维二退化Hopf分岔的参数条件；文献[4]详细讨论了一个类Lorenz系统的稳定性，运用第一Lyapunov系数法分析了系统平衡点的Hopf分岔情况；文献[5]提出了一个新的三维自治类Lorenz系统，从理论上分析了系统的动力学特性，并通过数值计算分析了系统在平衡点处的稳定性，给出了系统产生Hopf分岔的条件；文献[6]讨论了一个混沌系统的Hopf分岔情况，并通过计算系统的第一Lyapunov系数判断了其分岔的方向，对相应的动力学行为也作了简要的分析；文献[7]对经典的Lü系统进行变形，引入一个非线性状态反馈控制器，构造了一个新的四维非线性系统，并对系统的基本动力学特性进行了简要研究，系统随新引入的参数变化呈现周期、拟周期、混沌及超混沌的动力学行为，但文献[7]并未对系统的Hopf分岔情况进行研究，本文将通过中心流形理论和范式理论，对该系统的Hopf分岔行为进行较为详细的研究．

1 新的四维混沌系统

文献[7]提出的新的四维自治混沌系统，其状态方程为：

图1 系统 (1) 在不同空间的吸引子

图2 系统 (1) 的几种谱图

3 周期解的方向及其稳定性

4 数值仿真

图3 系统 (1) 的相图和时间响应图 (a = 2, b = 3, c = -1)

5 结 语

本文主要研究了一个新的非线性系统的Hopf分岔特性．通过选取适当的分岔参数，证明了当分岔参数经过临界值时系统发生了Hopf分岔，并详细分析了Hopf分岔周期解的方向和稳定性．系统简单，但其动力学特性十分丰富，虽然本文对其进行了详细研究，但系统混沌吸引子的形成机理还需要进一步分析，其拓扑结构也应该彻底研究，因此，对该系统的进一步研究仍然是重要的．

[1] Ott E. Chaos in Dynamical Systems [M]. second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2002: 108-145.

[2] Lü J H, Chen G R. A new chaotic attractor coined [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2002, 12(3): 659-661.

[3] 李群宏, 徐德贵. 一个类Lorenz系统的动力学分析[J]. 重庆理工大学学报: 自然科学版, 2011, 25(2): 112-116.

[4] Dias F S, Mello L F, Zhang J G. Nonlinear analysis in a Lorenz-like system [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010, 11: 3491-3500.

[5] 李险峰, 张建刚, 褚衍东, 等. 一个新类 Lorenz混沌系统的动力学分析及电路仿真[J]. 动力学与控制学报, 2007, 5(4): 324-329.

[6] 彭国俊. 一个混沌系统的霍普夫分叉分析[J]. 柳州师专学报, 2007, 22(1): 124-126.

[7] 高智中. 一个新的非线性系统及其超混沌控制[J]. 浙江大学学报: 理学版, 2012, 39(3): 303-307.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981: 14-52.

The Hopf Bifurcation Analysis of a Novel Four-dimensional Chaotic System

DU Wenju1, YU Jianning1, ZHANG Jiangang1, ZHANG Li2, AN Xinlei1
(1. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070; 2. Department of Basic Courses, Lanzhou Institute of Technology, Lanzhou, China 730050)

The stability of the equilibrium points and basic dynamic properties of the nonlinear system are analyzed via nonlinear dynamics theory, and the formulae for determining the stability and direction of bifurcating periodic solutions are derived via central manifold theorem and normal form theory. Finally, a numerical example is provided for justifying the validity of the theoretical analysis.

Four-dimensional Chaotic System; Hopf Bifurcation; Poincaré Sections; Lyapunov Exponents; Normal Form Theory

O415.5

A

1674-3563(2014)01-0031-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-04-07

国家自然科学基金项目(11161027，61364001)；教育部科技研究重点项目(212180)

杜文举(1987- )，男，甘肃西和人，硕士研究生，研究方向：非线性系统动力学及控制