离心调速器系统的混沌分岔及控制

王小斌，黄 剑，李贵杰

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

离心调速器系统的混沌分岔及控制

王小斌，黄 剑，李贵杰

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

建立了离心调速器系统的动力学方程，借助系统的相图、分岔图和Lyapunov指数图分析了系统的混沌动力学形态．利用对系统分别施加周期参数强迫、周期激励控制和x| x|控制的方法，通过适当调整控制参数，将系统的混沌行为有效地控制到稳定的周期轨道．运用数值仿真验证了方法的有效性和可行性．

离心调速器；混沌；分岔；Lyapunov指数；相图

自1990年OTT E. 等提出OGY方法[1]对混沌系统进行控制以来，人们逐渐找到了控制混沌的有效方法，从而使混沌控制成为各学科领域普遍关注的学术热点和前沿课题．目前，国内外学者已提出了许多控制混沌的方法，这些方法从控制原理上可分为无反馈控制方法和反馈控制方法两种．离心调速器在许多旋转机械中起着重要作用，这类机械系统一旦受到外部干扰，系统的速度就会变化很大，若要改变这种动力学行为，就要避免系统产生混沌现象，很多学者也对其做了大量的研究[2-7]．本文主要讨论了机械式离心调速器系统的分岔和混沌的形成过程，并利用三种无反馈方法[7-8]实现了对该系统混沌的控制，最后通过数值模拟，验证了这些方法的有效性和可行性．

1 力学模型

图1为一类六角离心调速器系统的力学模型，其中，l 为杆长，m 为刚性球质量，r 为旋转轴到支撑点的距离，φ为旋转轴与杆的夹角，ω为引擎角速度，η=nω为轴旋转角速度，n 为比例系数，k 为弹簧的倔强系数，g 为重力加速度．忽略管和套管的质量，并假设杆头与刚性球连接处的粘性摩擦系数为c ，则系统的运动方程为：

其中，J 为飞轮的转动惯量，Q 为由于蒸汽或燃油作用而产生的力矩，QL为载荷作用产生的力矩，t 为时间．当φ变化时，燃油的控制量也相应改变，方程（2）可写为如下形式：

2 混沌运动

当系统参数d = 0.080，e = 0.800，p = 0.040，b = 0.400，F = 2.000时，选取系统参数q为分岔参数，采取四阶 Runge-Kutta算法对系统（4）进行数值仿真，步长根据目标调整，系统（4）的分岔图如图2（a）所示．由图2（a）可以看出，当分岔参数q递增时，系统呈现出复杂的动力学行为．系统的Lyapunov指数如图2（b）所示，与系统的分岔图完全吻合．其它参数不变，当q∈(2,10)时，由图2（a）可知，系统随着q的不断增大，首先发生Hopf分岔，接着进入周期分岔，然后通过倍周期分岔进入混沌，随着q的继续增大，系统又进入周期运动状态．由此可知，系统存在复杂的动力学现象．

图1 系统的力学模型

图2 系统 (4) 的分岔图与Lyapunov指数图

3 混沌的控制

为了改善动力学系统性能，避免混沌现象产生，利用以下方法实现离心调速器系统的混沌控制，将系统的混沌行为有效地控制到稳定的周期轨道．

3.1周期参数强迫

式中，r和ω分别为激励振幅和激励频率．为了方便控制，固定ω的值，当ω=1.781时，不断地改变参数r的值，使系统尽可能地被控制到周期轨道．图3为当r=0.75时系统被控制到周期一轨道的相图．

图3 施加周期参数强迫法控制后的系统相图 (r = 0.75)

3.2 周期激励控制

周期激励法，通过给体系加入附加的周期激励的方法来控制动力学体系的混沌态．在方程（4）的第3式右端加入周期激励项，则受控系统为：

式中，r和ω分别为激励振幅和激励频率．

研究表明，当ω=5.56时，通过不断改变参数r 的值，系统可以被控制到周期轨道．当r=25.99时，系统被控制到稳定的周期一轨道，如图4（a）；当r=21.28时，系统被控制到周期二轨道，见图4（b）．

图4 施加周期激励法控制后的系统相图

3.3 x| x|控制

图5 施加x| x|控制后的系统相图

4 结 语

本文根据拉格朗日方程建立了系统的动力学方程，通过理论研究和数值仿真的方法分析了非线性系统的动力学行为，用数值模拟的方法得到了系统的分岔图和 Lyapunov指数图，两图所表征的动力学行为完全吻合，通过相平面图分析了非自治系统的周期和混沌运动．文中采用的三种方法均能实现混沌的控制，其中周期参数强迫和周期激励控制不含任何反馈机理，且不需要预先知道系统的行为；用周期扰动控制方法对受迫的非自治系统的混沌控制可以依据固有周期较容易地实现．但实际系统多数都是非线性的自治系统，并无固有周期，控制中通常需要确定控制的周期、幅值等多个参数，要实现快速稳定的混沌控制很困难，还有待于进一步研究．

[1] Ott E, Grebogi C, York J C. Controlling chaos [J]. Physical Review Letters, 1990, 64(11): 1196-1199.

[2] 常迎香, 褚衍东, 张建刚. 一类离心调速器的稳定性及混沌控制[J]. 兰州理工大学学报, 2005, 31(2): 144-148.

[3] 周良强, 陈予恕, 陈芳启. 一类自治离心式调速器系统的Hopf分岔与混沌[J]. 机械强度, 2012, 34(2): 165-169.

[4] 苟向锋, 罗冠炜. 机械式离心调速器系统的混沌及反馈控制[J]. 兰州铁道学院学报, 2003, 22(3): 86-90.

[5] 苟向锋, 罗冠炜. 机械式离心调速器系统混沌的线形反馈反控制[J]. 机械设计, 2005, 22(4): 30-33.

[6] 彭建奎, 俞建宁, 张建刚, 等. 一类非自治机械系统的混沌同步控制研究[J]. 机械强度, 2009, 31(5): 719-726.

[7] 张建刚, 褚衍东, 李险峰, 等. 一类离心调速器系统的分岔与混沌特性[J]. 机械强度, 2008, 30(3): 362-367.

[8] 李贤丽, 李贤善, 赵逢达. 非线性自治系统快速混沌控制方法[J]. 大庆石油学院学报, 2004, 28(3): 109-126.

Chaos Bifurcation and Control of Centrifugal Governor System

WANG Xiaobin, HUANG Jian, LI Guijie
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The dynamics equation is established, and by means of centrifugal governor system, bifurcation diagram and Lyapunov exponent diagram, the form of the chaotic dynamics system is analyzed. By the imposition on the system of the periodic parameter forcing, periodic excitation control andx| x|control, and through the appropriate adjustment of control parameters, the chaotic behavior of the system is effectively controlled to the stable periodic orbits. Numerical simulation is employed to verify the effectiveness and feasibility of the method.

Centrifugal Governor; Chaos; Bifurcation; Lyapunov Exponent; Phase Diagram

O322

A

1674-3563(2014)01-0046-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.007 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-05-27

王小斌(1985- )，男，甘肃秦安人，硕士研究生，研究方向：动力系统