数学教学中逆向思维的培养

丁正红

高中数学具有较高的抽象性和较强的逻辑性，是一门需要较高思维能力的学科，也是促使学生加强思维锻炼、激发思维火花、提高思维层次和提升智力水平的重要基础学科.高中数学教学实践表明，在课堂教学中加强逆向思维引导和训练，有助于加速学生对数学知识点的理解，有助于提高学生的数学分析水平，有助于提升学生解决实际数学问题的实践能力.特别是在相对抽象的数学问题面前，当采取传统的正向的思维方式难以解决的数学问题，不妨转换不同视角和思维方式，采取逆向思维的方式对问题进行重新梳理、分析，往往可以起到“柳暗花明又一村”的奇效.

下面结合自己的教学实践谈点体会.

一、采取逆向思考，把握数学定义的深刻内涵

在传统的高中数学教学中，多数教师通常只注重以“顺从与正向”的思维方式，引领学生梳理、分析数学概念、定义等基础知识.无疑，采取这种意向的思维方式，引导学习去理解、记忆和把握，有一定效果.然而，教学实践表明，在采取正向思维方式对相关概念与定义梳理之后，如果再采取逆向思维的方式去“反证”其条件与结果，往往可以促使学生对其理解得更加深刻，把握得更加深透.这样，不仅加强了学生按照常规的“顺向”思维理解、应用概念与定义的能力，而且还有力推动了学生的思维训练，并加深了他们对概念与定义的掌握程度.

例如，在讲“奇函数”时，按照“顺向”思维方式理解，如果函数f（x）在定义域内，对于任意一个x，都存在f（-x）= - f（x），则该函数f（x）就叫做奇函数，可以给予学生初步的感性认知，认识到该函数在直角坐标系上的几何意义是“关于原点对称”.而当教师引导学生采取逆向思维的方式提问：如果某函数f（x）存在f（-x）=-f（x）这一特性，那么该函数就是奇函数吗？这样，不仅可以促使学生加强对数学知识的分析与探究，提高他们对知识点的认知深度，让他们在正序和逆序中、条件和结论的互换中得到新的认识，增长了知识的同时，锻炼了思维.

二、采取逆向思维，把握数学性质法则的内在规律

在高中数学学习中，数学概念和定义等基础知识非常重要，要求学生必须熟练掌握和应用.而数学知识的性质、定理和法则等，同样是学科学习的重要基础，必须熟练掌握和应用.对于这些性质、定理、定律和法则等的推导，在教材中和相关教参中，较为常见的方法是根据基本概念和基础知识体系，循序渐进地进行逻辑推导.这种方式是可行的，也是有效的，但显然比较烦琐，教学中对学生思维的定力要求比较高.然而当引入逆向思维，如采取“反证法”、“等价关系”、“充要条件”等逆向思维进行梳理和理解，对相关性质、定理和法则的内在规律的理解和把握将会更加深刻.

例如，引导学生对数学定理和法则中的已知命题进行“逆向梳理”，构建出“逆命题”、“否命题”等形式，促使他们通过“逆”的方向进行思考，采取“否”的方式进行“反推”，从而揣摩出“已知命题”与“逆命题”之间的关联关系，进而对命题的“条件”和“结论”形成更加深刻的理解与记忆，对“充分条件”和“必要条件”更具有清醒的认识，以至于更加深刻、更加准确地把握数学性质法则的内在规律，达到左右逢源、融会贯通的境界，有力地提高学生的数学思维层次与水平，提升他们综合理解和应用数学的能力.

二、采取逆向思维，不断提升解决数学问题的能力

高中数学教学实践表明，数学问题中确实有许多问题，如果采取传统的常规的解决思路和方法，极有可能将问题引入到更为复杂、更为繁难的处境，特别是对于一些已知条件比较复杂的数学问题，试图通过“正向”的思维方式进行解题，必然会遇到很大困难.而如果教师引导学生通过采用“逆向”的思维方式进行梳理，从问题的结论反面来考虑问题的条件与结论，往往可以促使学生产生“豁然开朗”的感觉.无疑，这有力地丰富了解决数学问题的方式与方法，并有力地提升了学生分析问题、解决问题的能力.

例如，在教学中遇到这么一道数学习题：试讨论数学方程（a+2）x2-8x+a=0中的a在什么条件下，可以促使方程存在至少一个正的实数根？显然，如果按照常规的“正向”思维方式对习题分析，则可以得到“至少一个正的实数根”.意味着方程的解有以下两种情况：一是存在两个正的实数根；二是存在一个正的实数根.对于这种数学讨论，显然比较烦琐，而如果采取“反向”思维的方式，可以梳理出问题的反面就是“方程的两个根都是负数”，问题就变得简单得多了.这样，不仅提升学生解决数学问题的能力，而且锻炼了学生的思维能力.

总之，在高中数学教学中，充分利用现有条件，紧贴教学内容，不断加强数学知识体系的内在关联梳理，尝试从多个角度、多个方位对数学知识进行探究，善用“逆向”这把数学思维中的利剑，往往可以降低学生理解、分析和解决问题的难度，促使学生获得一种更加快捷、简便的学习方法，锻炼和提高了学生的思维能力，同时促进了他们对数学学习的积极性、主动性.