含绝对值的函数的图象问题

保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数f（x）的图象.

提问 有这样一道题：已知函数f（x）=x2-2x-lg（x+2），求f（x）的零点个数.我知道这道题是通过作出函数图象求解的，但是函数中包含了两个绝对值，这样的图象我不太会画.

回答 对于含绝对值的函数问题，正确作出函数图象，是利用图象法解题的关键.同学们一般会通过分类讨论去掉绝对值符号，将其转化为分段函数，分别作出每个区间上的函数图象，从而获得整个函数的图象.但是提问中的这道题如果通过分类讨论来画函数图象，过程就比较烦琐.

事实上，利用图象求解含绝对值的函数问题，关键在于了解绝对值符号对函数图象的作用与影响.在我省高考常见的含绝对值的函数问题中，根据绝对值在函数中出现的位置，通常可以分为下面两种情况：

（1） f（x）→f（x），绝对值符号对函数值产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图象翻折到x轴上方，便得到函数f（x）的图象.

例如，点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，则点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，将函数 f（x）=x2-2x在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数 f（x）=x2-2x的图象.如图1所示，实线部分为函数 f（x）=x2-2x的图象.

（2） f（x）→f（x），绝对值符号对函数自变量产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数 f（x）的图象.

例如，函数 f（x）=x2-2x是一个偶函数，图象关于y轴对称，即其图象是由函数 f（x）=x2-2x在y轴右边的图象和由这部分图象翻折到y轴左边的图象所组成的.如图2所示，实线部分为函数f（x）=x2-2x的图象.

下面我们再来分析提问中的题.

所谓函数 f（x）的零点，是使得 f（x）=0成立的实数x.我们通过等价转化，将零点个数问题转化为y=x2-2x，y=lg（x+2）这两个函数图象的交点个数问题.

函数y=x2-2x是前文分析的第二种情况，图象如图2所示.

函数y=lg（x+2）是前文所述的第一种情况.将函数y=lgx的图象向左平移2个单位，得到函数y=lg（x+2）的图象；再将函数y=lg（x+2）在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数y=lg（x+2）的图象.

如图3所示，函数y=x2-2x的图象与y=lg（x+2）的图象有1个交点，所以函数f（x）=x2-2x-lg（x+2）有1个零点.

值得注意的是，在翻折得到函数y=lg（x+2）图象的过程中，函数y=lg（x+2）的渐近线x=-2仍是函数y=lg（x+2）的渐近线，因此y=x2-2x和y=lg（x+2）这两个函数的图象在y轴左侧不存在交点.

保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数f（x）的图象.

提问 有这样一道题：已知函数f（x）=x2-2x-lg（x+2），求f（x）的零点个数.我知道这道题是通过作出函数图象求解的，但是函数中包含了两个绝对值，这样的图象我不太会画.

回答 对于含绝对值的函数问题，正确作出函数图象，是利用图象法解题的关键.同学们一般会通过分类讨论去掉绝对值符号，将其转化为分段函数，分别作出每个区间上的函数图象，从而获得整个函数的图象.但是提问中的这道题如果通过分类讨论来画函数图象，过程就比较烦琐.

事实上，利用图象求解含绝对值的函数问题，关键在于了解绝对值符号对函数图象的作用与影响.在我省高考常见的含绝对值的函数问题中，根据绝对值在函数中出现的位置，通常可以分为下面两种情况：

（1） f（x）→f（x），绝对值符号对函数值产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图象翻折到x轴上方，便得到函数f（x）的图象.

例如，点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，则点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，将函数 f（x）=x2-2x在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数 f（x）=x2-2x的图象.如图1所示，实线部分为函数 f（x）=x2-2x的图象.

（2） f（x）→f（x），绝对值符号对函数自变量产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数 f（x）的图象.

例如，函数 f（x）=x2-2x是一个偶函数，图象关于y轴对称，即其图象是由函数 f（x）=x2-2x在y轴右边的图象和由这部分图象翻折到y轴左边的图象所组成的.如图2所示，实线部分为函数f（x）=x2-2x的图象.

下面我们再来分析提问中的题.

所谓函数 f（x）的零点，是使得 f（x）=0成立的实数x.我们通过等价转化，将零点个数问题转化为y=x2-2x，y=lg（x+2）这两个函数图象的交点个数问题.

函数y=x2-2x是前文分析的第二种情况，图象如图2所示.

函数y=lg（x+2）是前文所述的第一种情况.将函数y=lgx的图象向左平移2个单位，得到函数y=lg（x+2）的图象；再将函数y=lg（x+2）在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数y=lg（x+2）的图象.

如图3所示，函数y=x2-2x的图象与y=lg（x+2）的图象有1个交点，所以函数f（x）=x2-2x-lg（x+2）有1个零点.

值得注意的是，在翻折得到函数y=lg（x+2）图象的过程中，函数y=lg（x+2）的渐近线x=-2仍是函数y=lg（x+2）的渐近线，因此y=x2-2x和y=lg（x+2）这两个函数的图象在y轴左侧不存在交点.

保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数f（x）的图象.

提问 有这样一道题：已知函数f（x）=x2-2x-lg（x+2），求f（x）的零点个数.我知道这道题是通过作出函数图象求解的，但是函数中包含了两个绝对值，这样的图象我不太会画.

回答 对于含绝对值的函数问题，正确作出函数图象，是利用图象法解题的关键.同学们一般会通过分类讨论去掉绝对值符号，将其转化为分段函数，分别作出每个区间上的函数图象，从而获得整个函数的图象.但是提问中的这道题如果通过分类讨论来画函数图象，过程就比较烦琐.

事实上，利用图象求解含绝对值的函数问题，关键在于了解绝对值符号对函数图象的作用与影响.在我省高考常见的含绝对值的函数问题中，根据绝对值在函数中出现的位置，通常可以分为下面两种情况：

（1） f（x）→f（x），绝对值符号对函数值产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在x轴上方的图象，将其在x轴下方的图象翻折到x轴上方，便得到函数f（x）的图象.

例如，点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，则点（x，y）是函数 f（x）=x2-2x图象上的点，将函数 f（x）=x2-2x在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数 f（x）=x2-2x的图象.如图1所示，实线部分为函数 f（x）=x2-2x的图象.

（2） f（x）→f（x），绝对值符号对函数自变量产生影响.

已知函数f（x），x∈R.保留函数f（x）在y轴右边的图象，并将这部分图象复制翻折到y轴左边，便得到函数 f（x）的图象.

例如，函数 f（x）=x2-2x是一个偶函数，图象关于y轴对称，即其图象是由函数 f（x）=x2-2x在y轴右边的图象和由这部分图象翻折到y轴左边的图象所组成的.如图2所示，实线部分为函数f（x）=x2-2x的图象.

下面我们再来分析提问中的题.

所谓函数 f（x）的零点，是使得 f（x）=0成立的实数x.我们通过等价转化，将零点个数问题转化为y=x2-2x，y=lg（x+2）这两个函数图象的交点个数问题.

函数y=x2-2x是前文分析的第二种情况，图象如图2所示.

函数y=lg（x+2）是前文所述的第一种情况.将函数y=lgx的图象向左平移2个单位，得到函数y=lg（x+2）的图象；再将函数y=lg（x+2）在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到函数y=lg（x+2）的图象.

如图3所示，函数y=x2-2x的图象与y=lg（x+2）的图象有1个交点，所以函数f（x）=x2-2x-lg（x+2）有1个零点.

值得注意的是，在翻折得到函数y=lg（x+2）图象的过程中，函数y=lg（x+2）的渐近线x=-2仍是函数y=lg（x+2）的渐近线，因此y=x2-2x和y=lg（x+2）这两个函数的图象在y轴左侧不存在交点.