多维二参数Logistic项目反应模型的Gibbs抽样法

付志慧，李 斌

（沈阳师范大学 数学与系统科学学院，沈阳 110034）

0 引 言

项目反应理论在心理与教育测量领域中具有广阔的应用前景［1－2］。它以潜在特质理论为基础，核心内容是研究潜在心理特质和反应行为之间的关系，在此基础上，可以分析出被试潜在心理特质（即能力）与项目特性（难度、区分度等）之间的相互影响。项目反应模型按照能力维度可分为单维和多维。单维项目反应模型假定测验的所有题目只考查同一种潜在特质。但是实际心理过程是非常复杂的，且考试（教育测验）通常考查多个能力。本文主要研究多维二参数Logistic（2PLM）的Gibbs抽样方法。

项目反应理论参数估计方法有4种［4］，条件极大似然估计（CMLE：condition maximum likelihood estimation），边际极大似然估计与EM 算法［4－5］（MMLE／EM：marginal maximum likelihood estimation and an EM algorithm），联合极大似然估计（JMLE：joint maximum likelihood estimation），Bayes估计。CMLE以一种参数已知为条件，即项目参数已知求能力值或能力参数已知求项目值。能力的条件估计适用于抽取题库项目来估计被试能力，若在题库未建立前，项目参数和能力参数皆是未知，CMLE不再适用。Birnbaum提出了联合极大似然估计。JMLE可在一定假设下，转化为项目参数的估计和能力参数的估计。两种估计是一个不断互相校正的过程，反复迭代求取稳定值，可以看成是两步估计的过程。但联合极大似然估计有其固有的缺陷：给定长度测试中（即项目个数是固定的），随着被试人数的增加，能力参数的个数也相应增加，称之伴随参数；不随被试人数增加而增加的项目参数，称之为结构参数；当同时估计能力参数和项目参数时，伴随参数可能不存在充分统计量，因此得出估计不一定满足相合性。消除JLME固有的缺陷只有消除伴随参数的影响。MMLE／EM算法将能力参数边际化，给定能力的先验分布，对能力参数进行积分，从而来消除能力参数，在一般条件下该算法可以收敛，计算比较简单，但它对能力需要进行数值积分近似计算，在能力维数较高时，会给计算带来很大困难［6］。为了提高估计的质量，除了当前样本数据，还可以利用客观信息和经验积累的信息，先验信息的加入，参数估计更加稳定，也更合理和符合实际。Albert（1992）给出了二参数正态卵形的一种Gibbs抽样方法［7］。Sahu（2002）将其推广到三参数正态卵形模型［8］。Van der Linden（2007）针对结合反应时间和反应速度的测验，用对数正态模型来拟合被试的反应时间，用三参数正态卵形IRT模型拟合反应得分，将二者结合后给出了Gibbs抽样方法［9］。本文考虑更为一般的多维2PLM，给出了一种基于增加数据的Gibbs抽样方法，易于求出每个参数的后验分布，从而直接给出参数的Bayes后验估计。

1 模型介绍和先验假设

假定有N个被试，n个项目，yij表示第j个被试对第i个项目的反应，答对取值为1，答错取值为0。令pij表示第j个被试对第i个项目正确反应的概率，我们采用多变量Logistic反应函数，形式为：

其中，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，N，θj＝（θj1，…，θjk，…，θjm）为被试j的能力，各维度能力取值范围均为－∞＜θjk＜∞，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，m；ai＝（ai1，…，aik，…，aim），aik＞0，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m是由项目i在各维度能力上的载荷aik生成的向量，称为区分度参数；bi＝（bi1，…，bik，…，bim）.－∞＜bik＜∞，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m，为项目i的难度参数向量；特别地，当m＝1时，模型（1）退化为单维2PLM。

令ζ＝（θ，a，b，σ），其中a＝（aik）n×m，b＝（bik）n×m，且（·）n×m表示n×m矩阵。多维2PLM 下，参数ζ的后验分布为：其中D为比例常数。

2 潜在变量的引入及Gibbs抽样过程

对应于反应数据yij，引入2个相互独立的随机变量uij。其中uij服从均匀分布，uij～Uniform（0，1）。由模型（1）易知，潜变量μij要受到yij取值的约束，令

令u＝（uij）n×N，y＝（yij）n×N，随着潜变量u的引入，（ζ，u）的联合后验密度为：

进而，由式（3），有

首先，在给定反应数据和其他参数的情形下，抽取uij。在算法的每一步都要满足式（2）。1）uij的满条件分布为

2）给定a，b，σ2的满条件分布为

由式（3），对于任意i，k，令

3）则给定其他所有参数和u，r，y，，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的满条件分布为

4）同理，θjk，j＝1，2，…，N，k＝1，2，…，.m的满条件分布为

其中，θj（k）是向量θj将第k个元素θjk删除后得到的余向量，即

N（vk，）是θjk在给定θj（k）下的条件分布，条件均值和条件方差分别为

（关于vk和的详细计算过程见附录），且

5）给定其他所有参数和u，r，y，aik，i＝1，2，…，n，k＝1，2，…，m的满条件分布为

其中

以下给出了具体的Gibbs抽样步骤（具体程序由Matlab软件编写）。

第1步 从式（5）中抽取u；

第2步 从式（6）中抽取σ2；

第3步 从式（7）中抽取b；

第4步 从式（8）中抽取θ；

第5步 从式（11）中抽取a。

3 结 论

以上讨论了多维二参数LOGISTIC模型的Gibbs抽样问题，采用本文讨论的方法，可简单解决该模型的参数估计问题，这一结果对IRT的发展，对多维项目在测验中的应用是很有意义的，在此基础上，还可以进一步讨论多维项目反应模型的其他问题，如纵向测验［10－11］、多层IRT测验［12］、参数估计优化问题［13－15］等。

附录

条件均值及方差的详细计算过程

若要计算θjk的条件均值vk和条件方差（公式（10）），首先对θj进行置换。令

Pk1＝（pst）m×m为置换阵，第（s，t）个元素为

由θj～Nm（μ，Σθ）有（k）～Nm（μ＊（k），（k）），其中

为了求θjk的条件分布，将向量（k）分成两块，因此得：

（μj（k）为θj（k）的数学期望，即μj（k）＝E（θj（k））。且

因此在给定时的条件分布为：

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