基于p6阶第三十五家族群的一类新LA-群①

班桂宁 陈倩 赵丽萍 许永峰

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

基于p6阶第三十五家族群的一类新LA-群①

班桂宁 陈倩 赵丽萍 许永峰

(广西大学 数学与信息科学学院,广西 南宁 530004)

有限p-群;扩张;阶;LA-猜想

利用群的扩张理论对p6阶群Φ35(16)进行了推广,得到了一类新的p-群,给出了它们的一些性质,并验证了它们都是LA-群.

对于有限p-群的自同构群,有一个十分著名的LA-猜想,即:阶大于p2的有限非循环p-群的阶是其自同构群的阶的因子.而半个多世纪以来,国内外许多群论专家以及学者在LA-猜想问题的研究上作了很大的贡献,有了许多有意义的结果[1～7].对于阶小于等于p6(p为奇素数)的有限p-群的同构分类已经由Rodney James在文献[8]中给出.E.A.O'Brien和M.R.Vaughan-Lee也完成了p7阶群的同构分类.关于LA-猜想,俞曙霞、班桂宁等得到了许多有价值的结果.而研究一个群通常是从它的结构和性质着手的.本文在前人LA-猜想研究的基础上[8～15],基于Rodney James文献[7],对p6阶群Φ35家族的Φ35(16)进行了推广,得到了有限p-群的一个重要类,然后用Schreier群扩张理论和自由群理论验证了所构造出的群的存在性,并给出了所得群的一些性质,最后利用群的中心内自同构的特性证明了所得到的群为LA-群.本文中,群G均为有限p-群,p为奇素数且p≥3,所有的参数均非负,符号Φ35等可参考文献[7],其他符号若无特殊说明均是标准的,具体可参考文献[16].

1 相关引理

引理1.1[3](Van Dyek) 设G是由生成元x1,x2,…,xr和关系fi(x1,x2,…,xr)=1,i∈I所定义的群,H=〈a1,a2,…,ar〉(这些ai可能相同),∀i∈I,fi(a1,a2,…,ar)=1,则存在唯一的满同态σ:G= Fr/N→H使得xiN→ai,其中Fr=〈x1,…,xr〉为自由群,Y=〈{fi(x1,x2,…,xr)|i∈I}〉,N=YFr(Y在Fr中的正规闭包),G=Fr/N.如果|G|≤|H|＜+∞,则上述的σ为群同构(即H是由生成元(a1,a2,…,ar)与定义关系fi(a1,a2,…,ar)=1,∀i∈I所定义的群).

引理1.2[16]设G是群,a,b,c∈G,则

(1)[a,b]-1=[b,a];(2)[ab,c]=[a,c]b[b,c];(3)[a,bc]=[a,c][a,b]c.

引理1.3[16]设G是有限p-群,若c(G)＜p,则G正则.

引理1.4[16]设G是有限群,则G的全体中心内自同构组成Aut(G)的子群,并且它和Z(G/Z(G))是同构的.

引理1.5[16]设G是群,a,b∈G且[a,b]∈Z(G),又设n是正整数.则有(n)

2 主要结果

(1)t3-t4≥t1≥t4-t5时,a=t+5t1-2t2+t4,故|R|=|G|·p4t1-3t2+t3+t4＞|G|,故群G为LA-群.

(2)t4-t5≥t1≥t1-t2时,a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G为LA-群.

(ⅳ)t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2时,此时Z(G)的不变型为t-t2≥t2-t3≥t3-t4≥t4-t5≥t5≥t1-t2,

(1)t4-t5≥t1≥t5时,a=t+6t1-2t2+t5,故|R|=|G|·p5t1-3t2+t3+t5＞|G|,故群G为LA-群.

故在情形1下群G为LA-群;对于情形2可以做类似的推理证明.

至此,我们已经证明了18种情况下的群满足LA-猜想和LA(2)-猜想,根据引理1.2,这些LA-群是新的,也就是我们获得了新的LA-群.除了可能重复的情况,对于中心Z(G)的分裂有多种方法,我们猜想用同样的方法能证明他们满足LA-猜想,我们将在另外的文章中作细致讨论.

[1]Yu S X,Ban G N,Zhang J S.Mininal-group with automorphism groups of order[J].Alg Colloq,1966,3(2):97-106.

[2]Flynn J,Mac Hale D,O'Brien E A,et al.Finite groups whose automorphism groups are 2-groups[J].Proc Roy Irish Acad Sect A,1944,94(2):137-145.

[3]班桂宁,俞曙霞.一类p-群的自同构群的阶[J].数学学报,1992,35(4):570-574.

[4]俞曙霞,班桂宁.具有循环中心和小中心商的有限p-群[J].广西大学学报:自然科学版,1993,18(3):15-23.

[5]Gunning Ban,Jinsong Zhang and Shuxia Yu.The lower bound for the order of the automorphism groups[J].Proc. Roy.Irish Acad.Vol.A,1996,96(2):159-167.

[6]俞曙霞,班桂宁.关于LA-群的一个定理[J].广西大学学报:自然科学版,1994,19(1):1-8.

[7]俞曙霞,班桂宁.具有循环中心和小中心商的有限p-群[J].广西大学学报:自然科学版,1993,18(3):15-23.

[8]Rodney James,The groups of order(an odd prime)[J].Math.Comput.1980(34):613-637.

[9]Ban Guining,Chen Liying,Zhou Yu.A new series of LA-groups[J].J Guangxi Teachers Education University, 2007,24(4):5-7.

[10]班桂宁,张玉,吴建平,等.基于p5阶Φ2族群的LA-群[J].广西师范学院学报:自然科学版,2008,25(3):1-4.

[11]班桂宁,吴建平,张玉,等.一类特殊有限p-群的自同构群的阶[J].云南大学学报:自然科学版,2008,30(SI):215-219.

[12]班桂宁,张中健,张玉,等.一系列新的LA-群及其自同构群的阶[J].广西科学,2009,16(1):1-3.

[13]班桂宁,刘惠,佘科,等.一类p6阶群的推广[J].广西师范学院学报:自然科学版,2010,27(3):7-11.

[14]班桂宁,佘科,刘惠,等.有限p-群的两个重要的类[J].广西科学,2010,17(4):277-281.

[15]班桂宁,李芳芳,刘惠,等.一类基于p5阶群的LA-群[J].贵州大学学报:自然科学版,2010,27(6):1-4.

[16]徐明曜.有限群导引:第二版(上,下)[M].北京:科学出版社,2001.

[17]T.Exarchakos.LA-groups[J].J Math Soc Japan,1981,33(2):185-190.

New LA-groups based on the order of p6of the thirty-fifth family group

BAN Guining CHEN Qian ZHAO Liping XU Yongfeng
(School of Mathematics and Information Sciences,Guangxi University,Nanning Guangxi,530004,China)

finite p-group;extension;order;LA-groups

After the order of p6ofΦ35(16)group is generalized by using the extension theory of group,a kind of new finite p-groups is obtained.And some properties of the new groups are given,which proves that the groups all belong to LA-groups.

O152.1

A

1009-9506(2014)08-0007-06

2014年6月8日

班桂宁,教授,博士,研究方向:有限群论与控制论.

国家自然科学基金,编号:61074185;广西自然科学基金,编号:0832054.