让学生自主建构的两个初中数学作业环节

刘发

在教学活动中，教师从教研的角度讲，不断地撰写教学反思，可以帮助我们提高自己的知识水平和业务能力，集腋成裘，聚沙成塔，把稍纵即逝的新思路、新启发记录下来，既可防止遗忘，也可以以记促思。但是教学的主体是学生，教师的教学反思书写得再好，再有利于备课和课堂教学，都难得提高学生的数学思维能力。因此，相对于教师而言有教学反思，那么对于学生而言就有了听课反思。俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔，”让学生会学，重在掌握方法，主动探求知识，目的在于发现新信息、新知识以及提出新问题，这是一种创新性的学习。在数学教学中注重学生反思能力的培养，有利于对数学新旧知识进行分析、比较、整理、归类；有利于学生真正掌握知识的内在联系，构成知识网络；有利于提高学生的主人翁意识，自主学习，增强学习动机，提高学习效率。

听课反思应该作为学生作业的一部分，可在实际教学中，很多老师布置作业时，常常这么说：“今天的作业是教科书第××页，第××、××题”，也有的老师布置了一至两道选做题，以体现新课标的理念“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。这种布置作业的方式，只强调了作业中的硬件——“练习”，而忽视了作业的其他组成部分，把“做作业”与“做练习”简单地画上了等号。不可否认，作业的基本组成部分是练习，但如果长期只有练习，往往有学生这样问：“上课老师讲的我全明白，都听得懂。但一做题怎么就不会了呢？”“老师昨天讲的题我会做，今天再拿过来，只是变换了一个小小的条件，怎么就不会了呢？”另外还有的说：“老师讲了，考试也考了，自己也订正了，过一段时间后再考仍然做错了，可以说一错再错！”究其原因，实际上还是学生没有把知识内化为自己的，没有把老师的解题方法、解题能力转化为自己的能力与方法。教育心理学家布鲁纳认为：数学知识的掌握不是简单的堆积，而是建立在很强的逻辑联系之上，数学的学习必须理解知识结构之间的联系，才能将数学概念、命题融入自身知识体系中，并融会贯通。因此，引入数学听课反思，可有效地避免或减少上述现象的发生。经过长期的教学思考和实践，笔者在保留传统数学作业注重练习的环节的基础之上增加了两个自主建构反思环节，整个作业流程就变为：“听课之后的反思”和“纠错处理的反思”。

一、听课之后的反思

“学而不思则罔，思而不学则殆。”我国古代大教育家孔子早在2000年前就强调了学与思的结合。因此让学生适时记录自己的听课反思很有必要。对于教师来说，学生的学习状况到底如何，也缺少全面了解的有效手段。让学生适时记录学习反思可以较好地弥补这些缺陷。对于学生而言，适时记录学习反思，可以帮助自己整理学习思路，理清新旧知识之间的联系；可以帮助自己了解在一段时间学习之后，还有哪些不能理解的地方，明确后面的学习方向；可以使自己与教师和同学们有交流沟通的机会，将自己的困惑或质疑提出来，给大家提供讨论的平台。对于教师而言，学生的学习反思可以帮助教师了解学生的学习现状，知道哪些内容学生已经掌握，哪些内容学生还有疑惑，为下一步教学提供依据；可以帮助教师了解自身教学的得失，便于改进教学方法、教学设计和教学策略。及时对学生的学习反思进行反馈、点评，与学生进行心灵沟通、思维碰撞，还有利于激发学生学习科学的兴趣，有利于学生良好学习习惯的培养，有利于学生思维能力的提升。听课反思主要有两个方面的内容：一是知识、技能反思。每上完一节内容后，要回头整理，本节内容共讲了哪些问题？我掌握了哪些？达到了预期目标了吗？学到了哪些方法？哪些方法还需进一步改进？二是情感态度反思。检查自己的情感体验，我上课是否注意力集中？我对此节内容感兴趣吗？为何会开小差？以后如何克服？该怎样使自己的学习情绪调整到最佳状态？

学生写好听课之后的反思应注意的几个问题： ①提高思维含量，让学生有内容可写。学生的听课反思，来源于课堂教学，而提高课堂教学的思维含量，提高学生思维的参与度，就会让学生爱写反思、会写反思。②尊重学生的反思，对不同成绩的学生应有不同的要求。对后进生只要把自己想说的话说清楚就给予肯定，对中等生能把关键点说明白就给予表扬，对优等生应要求反思具有针对性、思考性、严谨性、深刻性等，真正让不同的学生得到不同的发展。

案例1：听课之后的反思

题目（沪教版八上教科书135页）：求证：斜边和一条直角三角形全等。

已知：如图15-17（1），在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。

■

（图15-17）

证明：（略，见教科书）

反思：（学生1）刘老师要求我们将教科书合起来试一试，有的同学是根据“HL”的判定定理证明，显然混淆了“证明定理”与“应用定理”的区别。要证明该定理，就要用到以前学过的“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”四种方法中的一种，因此关键是证明∠A=∠A′或∠B=∠B′或BC=B′C′。苦思冥想难以证明，听到刘老师的讲解，才掌握了以前未学过的一种新方法——移动拼接法。值得注意的是必须证明B、C（或C′）、B′三点在一条直线上，否则不能根据“等边对等角”得到∠B=∠B′。

教师点评：很高兴看到你已掌握了证明两个三角形全等的一般思路，已抓住了问题的难点、易错点！但难点的突破口还应思考，即证明两个角相等除利用全等三角形的性质而外，还有哪些方法呢？如果你想到了“等边对等角”，也许你就容易想到“移动拼接法”！

二、纠错处理的反思

美国著名教育家杜威曾说“真正思考的人从自己的错误中吸取知识比从自己成就中吸取的知识更多，错误与探索相联姻，相交合，才能孕育出真理。”如何不让学生一错再错，或尽量减少差错，让学生学习不断进步呢？一个很重要的方法就是自己主动反思错误、纠正错误。

学生的错解主要有三种情况：一是特别简单的错误，例如，由于粗心大意把把数字或符号看错了，或者忘记带单位。二是题目难度中等，按道理有能力做对，但是由于考虑不全面、理解错误或某一步未想到，最终导致做错。三是面对难度较大的题目所犯的错误，拿到题目一点思路都没有，找不到切入点，不知道该从何下手，最后稀里糊涂地做导致错误。针对后面两种情况应让学生在课后写出纠错反思。endprint

“纠错反思”分“题目、错解、错因分析、正解、创新园地、举一反三、我的收获”等七个栏目。要求学生抄写题目，标出错误所在，分析产生的原因，然后写出正确答案。“纠错反思”中“创新园地”，用来对原题改编、变式，记载不同的解法和最佳解法等。“举一反三”栏目要求学生列举类似题。“懂而不会”现象的主要原因是学生不懂得知识点的迁移运用。学生没有真正地理解知识点，自然无法灵活地运用知识。要根治这一现象，除了让学生弄懂错解的原因外，还要让学生找到类似题进行巩固、强化，做到举一反三，触类旁通。这样，既能提高思维的广度和深度，又能增强数学学习中的活动经验积累，从而大大提升数学学习的品质。“我的收获”栏目要求记载自己对纠错过程的感悟。实践表明，“纠错反思”不失为一种帮助学生学习纠错的好方法。

案例2：教学考试自我分析

（2013-2014学年度第一学期第一次月考试题）

甲、乙两地相距50千米。星期日上午8：00小聪同学骑山地车从甲地前往乙地，2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线从甲地前往乙地。他们行驶的路程（千米）与小聪行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示。小明的父亲出发________小时，行进中的两车相距8千米。

■

错解：■

错因分析：（学生2）我当时只考虑了相遇之前的情况：小聪的速度为36÷3=12（千米/时），小明父亲的速度为36÷（3-2）=36（千米/时），根据题意得12（x+2）-36x=8，解得x=■。忽视了相遇之后的情况：36x-12（x+2）=8，解得x=■。

正解：■或■。

创新园地：（学生3）听刘老师说这道题是2013年湖北随州中考试题。现将它改编，考一考七年级的表弟：甲、乙两地相距50千米，小明骑自行车的速度为12千米/时，小明的爸爸骑摩托车的速度为36千米/时，父子两人都是从甲地前往乙地。小明出发2小时后，他爸爸才动身。问小明的爸爸出发多少小时后，行进中的两车相距8千米？

现在我想到以下方法：设图中小聪图像的函数关系式为y1=k1x，由于图像经过点（3，36），所以36=3k1，解得，k1=12所以y1=12x。再设小明爸爸图像的函数关系式为y2=k2x+b，其图像经过点（2，0）和点（3，36），则0=2k2+b36=3k2+b，解得k2=36b=-72，所以y2=36x-72。

由题意得y1-y2=8，所以12x-（36x-72）=8或（36x-72）-12x=8，解得x=■或x=■，所以x-2=■-2=■或x-2=■-2=■。

我的收获：分类问题，虽说常做过，几乎每章都有，老师也常讲过，但同学们总容易失分，其原因可能是不知道什么时候分类以及怎么分类。回顾自己平时的课堂笔记，归纳起来感觉到目前主要掌握四种形式：1.由数学概念引起的分类讨论，如|a|的绝对值就要按a>0，a=0，a<0进行分类，才能去掉绝对值符号；2.由定理、公式、运算性质的适用范围引起的分类讨论；3.由图形的不确定性引起的分类讨论，如本题；4.由参数值的“量变”导致结果发生“质变”，而引起的分类讨论，如解关于x的不等式（a-1）x>5。疏漏和不妥之处，请老师指导！

教师点评：祝贺你！老师没讲的方法你也想到了！“我的收获”中概括较全面，可以看出你的收获的确很大！如果能列举一道用到分类思想且同学们易错的函数应用题，也许对你的帮助更大！

三、结束语

在教学中培养学生的反思能力是一个长期、持久的过程，而且要遵循由易到难、循序渐进的原则。在课后作业中要求学生写好“听课之后的反思”和“纠错处理的反思”。作为其中的一项举措，确实能起到一定的作用。但初中生的自主学习能力有限，自觉性差，尤其是七年级，正处于小学到初中的过渡时期，学生的学习习惯、学习方法亟待进一步地培养，这都给这一措施的实施增加了难度。但我相信，只要能持之以恒，及时反馈，改进方式方法，总有“守得云开见月明”的一天。

[参 考 文 献]

[1]吴之季，苏淳.义务教育数学教科书（八年级）[M].上海科学技术出版社，2013.

（责任编辑：张华伟）endprint

“纠错反思”分“题目、错解、错因分析、正解、创新园地、举一反三、我的收获”等七个栏目。要求学生抄写题目，标出错误所在，分析产生的原因，然后写出正确答案。“纠错反思”中“创新园地”，用来对原题改编、变式，记载不同的解法和最佳解法等。“举一反三”栏目要求学生列举类似题。“懂而不会”现象的主要原因是学生不懂得知识点的迁移运用。学生没有真正地理解知识点，自然无法灵活地运用知识。要根治这一现象，除了让学生弄懂错解的原因外，还要让学生找到类似题进行巩固、强化，做到举一反三，触类旁通。这样，既能提高思维的广度和深度，又能增强数学学习中的活动经验积累，从而大大提升数学学习的品质。“我的收获”栏目要求记载自己对纠错过程的感悟。实践表明，“纠错反思”不失为一种帮助学生学习纠错的好方法。

案例2：教学考试自我分析

（2013-2014学年度第一学期第一次月考试题）

甲、乙两地相距50千米。星期日上午8：00小聪同学骑山地车从甲地前往乙地，2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线从甲地前往乙地。他们行驶的路程（千米）与小聪行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示。小明的父亲出发________小时，行进中的两车相距8千米。

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错解：■

错因分析：（学生2）我当时只考虑了相遇之前的情况：小聪的速度为36÷3=12（千米/时），小明父亲的速度为36÷（3-2）=36（千米/时），根据题意得12（x+2）-36x=8，解得x=■。忽视了相遇之后的情况：36x-12（x+2）=8，解得x=■。

正解：■或■。

创新园地：（学生3）听刘老师说这道题是2013年湖北随州中考试题。现将它改编，考一考七年级的表弟：甲、乙两地相距50千米，小明骑自行车的速度为12千米/时，小明的爸爸骑摩托车的速度为36千米/时，父子两人都是从甲地前往乙地。小明出发2小时后，他爸爸才动身。问小明的爸爸出发多少小时后，行进中的两车相距8千米？

现在我想到以下方法：设图中小聪图像的函数关系式为y1=k1x，由于图像经过点（3，36），所以36=3k1，解得，k1=12所以y1=12x。再设小明爸爸图像的函数关系式为y2=k2x+b，其图像经过点（2，0）和点（3，36），则0=2k2+b36=3k2+b，解得k2=36b=-72，所以y2=36x-72。

由题意得y1-y2=8，所以12x-（36x-72）=8或（36x-72）-12x=8，解得x=■或x=■，所以x-2=■-2=■或x-2=■-2=■。

我的收获：分类问题，虽说常做过，几乎每章都有，老师也常讲过，但同学们总容易失分，其原因可能是不知道什么时候分类以及怎么分类。回顾自己平时的课堂笔记，归纳起来感觉到目前主要掌握四种形式：1.由数学概念引起的分类讨论，如|a|的绝对值就要按a>0，a=0，a<0进行分类，才能去掉绝对值符号；2.由定理、公式、运算性质的适用范围引起的分类讨论；3.由图形的不确定性引起的分类讨论，如本题；4.由参数值的“量变”导致结果发生“质变”，而引起的分类讨论，如解关于x的不等式（a-1）x>5。疏漏和不妥之处，请老师指导！

教师点评：祝贺你！老师没讲的方法你也想到了！“我的收获”中概括较全面，可以看出你的收获的确很大！如果能列举一道用到分类思想且同学们易错的函数应用题，也许对你的帮助更大！

三、结束语

在教学中培养学生的反思能力是一个长期、持久的过程，而且要遵循由易到难、循序渐进的原则。在课后作业中要求学生写好“听课之后的反思”和“纠错处理的反思”。作为其中的一项举措，确实能起到一定的作用。但初中生的自主学习能力有限，自觉性差，尤其是七年级，正处于小学到初中的过渡时期，学生的学习习惯、学习方法亟待进一步地培养，这都给这一措施的实施增加了难度。但我相信，只要能持之以恒，及时反馈，改进方式方法，总有“守得云开见月明”的一天。

[参 考 文 献]

[1]吴之季，苏淳.义务教育数学教科书（八年级）[M].上海科学技术出版社，2013.

（责任编辑：张华伟）endprint

“纠错反思”分“题目、错解、错因分析、正解、创新园地、举一反三、我的收获”等七个栏目。要求学生抄写题目，标出错误所在，分析产生的原因，然后写出正确答案。“纠错反思”中“创新园地”，用来对原题改编、变式，记载不同的解法和最佳解法等。“举一反三”栏目要求学生列举类似题。“懂而不会”现象的主要原因是学生不懂得知识点的迁移运用。学生没有真正地理解知识点，自然无法灵活地运用知识。要根治这一现象，除了让学生弄懂错解的原因外，还要让学生找到类似题进行巩固、强化，做到举一反三，触类旁通。这样，既能提高思维的广度和深度，又能增强数学学习中的活动经验积累，从而大大提升数学学习的品质。“我的收获”栏目要求记载自己对纠错过程的感悟。实践表明，“纠错反思”不失为一种帮助学生学习纠错的好方法。

案例2：教学考试自我分析

（2013-2014学年度第一学期第一次月考试题）

甲、乙两地相距50千米。星期日上午8：00小聪同学骑山地车从甲地前往乙地，2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线从甲地前往乙地。他们行驶的路程（千米）与小聪行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示。小明的父亲出发________小时，行进中的两车相距8千米。

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错解：■

错因分析：（学生2）我当时只考虑了相遇之前的情况：小聪的速度为36÷3=12（千米/时），小明父亲的速度为36÷（3-2）=36（千米/时），根据题意得12（x+2）-36x=8，解得x=■。忽视了相遇之后的情况：36x-12（x+2）=8，解得x=■。

正解：■或■。

创新园地：（学生3）听刘老师说这道题是2013年湖北随州中考试题。现将它改编，考一考七年级的表弟：甲、乙两地相距50千米，小明骑自行车的速度为12千米/时，小明的爸爸骑摩托车的速度为36千米/时，父子两人都是从甲地前往乙地。小明出发2小时后，他爸爸才动身。问小明的爸爸出发多少小时后，行进中的两车相距8千米？

现在我想到以下方法：设图中小聪图像的函数关系式为y1=k1x，由于图像经过点（3，36），所以36=3k1，解得，k1=12所以y1=12x。再设小明爸爸图像的函数关系式为y2=k2x+b，其图像经过点（2，0）和点（3，36），则0=2k2+b36=3k2+b，解得k2=36b=-72，所以y2=36x-72。

由题意得y1-y2=8，所以12x-（36x-72）=8或（36x-72）-12x=8，解得x=■或x=■，所以x-2=■-2=■或x-2=■-2=■。

我的收获：分类问题，虽说常做过，几乎每章都有，老师也常讲过，但同学们总容易失分，其原因可能是不知道什么时候分类以及怎么分类。回顾自己平时的课堂笔记，归纳起来感觉到目前主要掌握四种形式：1.由数学概念引起的分类讨论，如|a|的绝对值就要按a>0，a=0，a<0进行分类，才能去掉绝对值符号；2.由定理、公式、运算性质的适用范围引起的分类讨论；3.由图形的不确定性引起的分类讨论，如本题；4.由参数值的“量变”导致结果发生“质变”，而引起的分类讨论，如解关于x的不等式（a-1）x>5。疏漏和不妥之处，请老师指导！

教师点评：祝贺你！老师没讲的方法你也想到了！“我的收获”中概括较全面，可以看出你的收获的确很大！如果能列举一道用到分类思想且同学们易错的函数应用题，也许对你的帮助更大！

三、结束语

在教学中培养学生的反思能力是一个长期、持久的过程，而且要遵循由易到难、循序渐进的原则。在课后作业中要求学生写好“听课之后的反思”和“纠错处理的反思”。作为其中的一项举措，确实能起到一定的作用。但初中生的自主学习能力有限，自觉性差，尤其是七年级，正处于小学到初中的过渡时期，学生的学习习惯、学习方法亟待进一步地培养，这都给这一措施的实施增加了难度。但我相信，只要能持之以恒，及时反馈，改进方式方法，总有“守得云开见月明”的一天。

[参 考 文 献]

[1]吴之季，苏淳.义务教育数学教科书（八年级）[M].上海科学技术出版社，2013.

（责任编辑：张华伟）endprint