质心公式推导及其在求解积分中的应用

李超群 刘智慧 张玉洁

【摘要】论文对曲线和曲面的质心公式进行了推导和证明，并举例说明了利用质心公式求解积分问题.

【关键词】质心；曲线积分；曲面积分

【基金项目】湖北省教育厅教学研究项目（No.2012139，No.2012142）

一、曲线和曲面的质心公式推导

设在xOy面上有n个质点，位于点（xi，yi），质量为mi （i=1，2，…，n）.由力学知道，该质点系的质心坐标为

x-=MyM=∑ni=1mixi∑ni=1mi，y-=MxM=∑ni=1miyi∑ni=1mi，

其中M=∑ni=1mi为该质点系的总质量，My=∑ni=1mixi，Mx=∑ni=1miyi，分别为该质点系对y轴和x轴的静矩.

以离散的质点系的质心为基础，现有高等数学教材上一般都给出了平片薄片和占有空间有界闭域Ω的物体的质心.本论文给出曲线形和曲面形构件的质心公式.

定理1 设一曲线形构件，占有xOy面上的一段光滑曲线弧L，在（x，y）处的线密度为μ（x，y），假定μ（x，y）在L上连续.则该曲线形构件的质心坐标为

x-=∫Lxμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds，y-=∫Lyμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds.

证明：在曲线弧L上取很小的一段弧ds（这一小段弧的弧长也记为ds），（x，y）是这小弧段上的一个点.由于ds很小，且μ（x，y）在L上连续，所以曲线弧相应于ds的部分的质量近似等于μ（x，y）ds，且这部分质量可以近似看作集中在点（x，y），于是可以写出静矩元素dMy=xμ（x，y）ds，dMx=yμ（x，y）ds.以这些元素为被积表达式，在光滑曲线弧L上积分，得My=∫Lxμ（x，y）ds，Mx=∫Lyμ（x，y）ds.

又由第一类曲面积分知，该曲线形构件的质量为 M=∫Lμ（x，y）ds.由此，该曲线形构件的质心坐标为x-=MyM=∫Lxμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds，y-=MxM=∫Lyμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds.推论 设一曲线形构件，占有空间中一段光滑曲线弧Γ，在（x，y，z）处的线密度为μ（x，y，z），假定μ（x，y，z）在Γ上连续.则该曲线形构件的质心坐标为

x-=∫Γxμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds，y-=∫Γyμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds，

z-=∫Γzμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds.

定理2 设一曲面形构件，占有空间中的一块光滑曲面∑，在（x，y，z）处的面密度为μ（x，y，z），假定μ（x，y，z）在∑上连续.则该曲面形构件的质心坐标为

x-=∑xμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，y-=∑yμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，

z-=∑zμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS.

证明 将曲面∑分为n个小曲面ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，它们的面积也记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.（xi，yi，zi）是ΔSi上的任意一点（i=1，2，…，n）.记λ为ΔSi（i=1，2，…，n）直径的最大值.当λ充分小时，由于μ（x，y，z）在∑上连续，所以ΔSi上的质量可以近似等于μ（xi，yi，zi）ΔSi（i=1，2，…，n）.于是∑的质心坐标可以近似地等于

∑ni=1xiμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，∑ni=1yiμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，

∑ni=1ziμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，

当λ→0时，上述三个量的极限正是曲面形构件的质心坐标，

x-=∑xμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，y-=∑yμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，

z-=∑zμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS.

二、举 例

例1 计算积分I=∫Γ（x-y+z2）ds，其中Γ为球面x2+y2+z2=a2 与平面x+y+z=0的交线.

解 由定理3，当曲线形构件的密度函数μ（x，y，z）为常数，质心坐标就成了

x-=∫Γxds∫Γds，y-=∫Γyds∫Γds，z-=∫Γzds∫Γds.

由对称性，曲线Γ的质心坐标一定在原点，因此有x-=y-=z-=0.由此，

∫Γxds=∫Γyds=0.

又由对称性，有

∫Γx2ds=∫Γy2ds=∫Γz2ds.

因此

I=13∫Γ（x2+y2+z2）ds=a23∫Γds=a232πa=2πa33.

例2 计算积分I=∑（x+y+z）dS，∑为球面x2+y2+z2=a2 上z≥h的部分（0

解 由定理4，当曲面∑的面密度函数μ（x，y，z）为常数时，质心坐标就成了

x-=∑xdS∑dS，y-=∑ydS∑dS，z-=∑zdS∑dS.

∑为球面x2+y2+z2=a2 上z≥h的部分，由对称性，质心一定位于z轴上，于是x-=y-=0，由此得∑xdS=∑ydS=0.∑向xOy面的投影区域记为Dxy：{（x，y）|x2+y2≤a2-h2}，因此

I=∑zdS=Dxyadxdy=aπ（a2-h2）=π（a3-ah2）.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]杜伯仁，赵晶等编.高等数学习作课精编[M].北京：国防工业出版社，2002.