待定系数法在高中数学解题中的应用

李家鑫 汤强

【摘要】待定系数法是我们中学数学所需学习和掌握的一种重要解题方法，它几乎渗透到中学数学的各个知识领域，如在代数领域中的多项式、函数、数列、不等式、矩阵等；在几何领域中的解析几何，具有广泛的适用性.所以说，它是我们解初等数学的常用、有效的方法.

【关键词】高中数学；待定系数法

待定系数法：即是先设出所求结果的含参解析式（关系结构式），再根据已知条件，或对应项（位置）的系数相等，建立关于参数的方程（组），最后解出参数，从而求得解析式（关系结构式）.其实质就是方程思想.下面我们从代数、几何两方面来列举实例研究.

一、在代数中的应用

1.多项式的因式分解

我们知道任何一个高次多项式（次数大于2）在实数范围内可分解成几个一次或二次多项式的乘积形式，所以我们可先设出它的含参的因式分解结果形式，用待定系数法来解.

例1 因式分解多项式：x4+x2+2ax+1-a2.

解析 多项式x4+x2+2ax+1-a2可先分解成两个二次多项式乘积的形式，设为：

x4+x2+2ax+1-a2=（x2+Ax+B）（x2+Cx+D），展开等式右边，由对应项的系数相等得到：

C+A=0

B+D+AC=1

AD+BC=2a

BD=1-a2A=1，

B=1-a，

C=-1，

D=1+a.

所以，x4+x2+2ax+1-a2=（x2+x+1-a）（x2-x+1+a），而此两个二次多项式在实数范围内不能再因式分解，故这就是因式分解的最终结果.

小结 解此题关键在于：写出此多项式的含参因式分解形式，再展开，根据对应项的系数相等，建立方程组，求出参数即可.已确定所求函数的类型是此题解题的突破口.

2.求数列的通项式

求数列通项式方法有多种，而待定系数法是一种常见、重要的方法.主要适用于递推式形如：an+1=λ·an+f（n）（其中f（n）可为常数、关于n的多项式，或关于n的指、对数式等）.

（Ⅰ） 当f（n）=k（k为常数）时，即an+1=λ·an+k.

例2 已知数列{an}满足a1=3，an+1=3an+2，求an.

解析 由已知递推式an+1=3an+2，可构造一个含参数λ的等价递推式：an+1+λ=3（an+λ），然后将此式展开移项，由和已知递推式对应项的系数相等，解出λ=1，所以得到： 新数列{an+1}是以首项为4，公比为3的等比数列，由等比数列通项式公式得：an+1=4·3n-1，从而求出：an=4·3n-1-1.

小结 通过待定系数法对已知递推式进行等价变形，得到一个新的数列（等比数列），通过求此等比数列的通项式，从而解得已知数列的通项式.

（Ⅱ）当f（n）=k·n+l（k，l为常数）时，即an+1=λ·an+（k·n+l）.

二、在解析几何中的应用

常用于求直线、切线、圆、圆锥曲线的方程等.

例3 求经过点A（0，2）和B12，3的椭圆的标准方程.

解析 因为椭圆的焦点位置不确定，可采取分类讨论的方法来求标准方程，但由于分类讨论较复杂，这里可直接设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A≠B，A>0，B>0）.

由条件可得：4B=1

14A+3B=1A=1，

B=14.

即椭圆标准方程为x2+y24=1.

小结 恰当地设出椭圆方程，可以避免分类讨论，达到运算简便的目的.

通过以上例子的讲解，相信同学们对待定系数法有了更进一步的理解和掌握，在做题时不再是模棱两可，而是有目的、有层次的，更清楚我们在求什么样的问题时，可选择待定系数法和怎么去用待定系数法.简而言之，即当所求问题的一般形式（关系结构）是我们已知的（直接能设出），这时就采用待定系数法来解，这也是用待定系数法解题的关键之处.