放缓节奏，等待儿童数学成长

蒋敏杰

摘要：基于“为学习者设计”的理念，数学课堂需要让学生在自主参与中感悟数学知识的发生、发展及其应用。放缓节奏、丰富过程、体验生成，能有效地引导学生经历过程，借助结构推进规划学习历程，借助问题解决形成数学思考，借助过程体验的共感与交感融合，实现小学生心智的同步发展。

关键词：小学数学；学习节奏；结构化

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2014）01-0073-04

数学学习活动是教师与学生在现实情境中围绕数学学习素材展开互动、对话的过程。“数学学习要引发学生的数学思考，充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质”[1]从学生认知规律和心理特征入手，精选学习材料与情境，“从学生能否经历丰富的过程”来思量数学认知、思维的过程，“从学生能否从过程中理解数学实质”来取舍具体的学习过程。因此，笔者认为数学学习需要放缓节奏，丰富过程，体验生成，以使师生在数学思考中形成共感与交感，促成师生的共生同长。

一、情境再现——苏教版数学第十二册第三单元《比例尺》教学

思考与实施：本内容教材安排两课时完成。第一课时，让学生在具体的情境中理解比例尺的意义，能看懂数值比例尺、线段比例尺，会求一幅图的比例尺，并进行两种比例尺的转化。第二课时，在学生理解比例尺的基础上，进一步体会比例尺的实际应用，解决相关的实际问题。从教材内容上分析，此二课时紧密联系、层层相扣，体现数学知识“认知—理解—应用—系统内化”的完整过程。从前期的学情分析看，学生对比例概念及实际应用掌握较好，且多数学生对比例尺有一定的直观体验，学习思维难度并不高。

基于上述思考，笔者对学习过程重新架构，力求在1课时内，通过沟通新旧知识的联系，让学生在主动体验中理解，并能解决相应的问题。

问题：1节课教学后，回顾教学过程及后测情况，出现了以下几个“意料之外”的问题：

1.知识技能：比例尺的理解尚可，但图上距离、实际距离、比例尺三者关系在实际应用中明显存在思维滞后现象。

2.数学思考：比例尺的理解，两种比例尺的互化教学约25分钟，其中交流分析的对话时间7分钟（约占35%），实际应用约15分钟，其中学生独立思考及解决问题9分钟（约占60%）。

3.问题解决：简单的比例尺应用尚可，涉及到三者关系的实际应用，层次差异显著，部分学生对问题缺乏理解。

4.情感态度：从过程看，没有明显感受到学生在学习中的热情，孩子们只是在顺应教师的节奏。

分析与归因：

1.重形轻质，片面追求课堂“高效”。这源于学情分析的思考，在教材解读中过分关注了部分学生对知识内容的理解，而忽视了对知识内容来龙去脉的追问，这样使得教师过分纠结课堂高效，走入重知识技能，忽视思维发展的误区。

2.重结果轻过程，缺乏过程的丰富。这源于对知识的简单理解，在教学中过分关注了学生获得知识的快速与灵活，为追求“速度”压缩体验过程，而使学生学习过程线性化，学生无法在每个学习反思环节对内容进行自我内化。

3.重应用轻理解，缺失知识内化中的解构。这源于对应用的简单认识，在数学思考中过分关注解决问题，而忽视了问题解决中思维的开放性、灵活性，使得学生的应用只见树木不见森林，解决问题呈现单一性、机械化。

上述三方面的归因，在于教师对教材、学习过程重组、重构的简单认识理解，片面化处理教材，机械化推进活动过程，忽视了数学活动的过程性、体验性对学生数学学习的现实影响。因此基于活动过程的丰富性及学生认知规律的准确定位，放缓学习节奏、丰富学习活动，有助于充分地让学生体验学习过程。放缓节奏不是简单放慢学习节奏，而是在核心过程给予适切的“做”、“想”、“思”数学的时空，并在此过程中提升自我认知，形成认知信念，提高心智能力。

二、放缓节奏、丰富过程、体验生成的引导策略

1.放缓节奏、丰富过程、体验生成的基础是“整体结构”的规划学习活动

体验过程，让每一位学生经历数学知识的产生过程，发展过程，认识结果的意义价值。[2]采用现代企业管理的元素来分析，就是用“规划”的结构序列之力促进活动（事件）的深层次开展。

（1）内容组织结构化，帮助学生感受知识体系

“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中。”[3]教师在组织教学内容时，通过瞻前顾后式的内容把握，充分考虑每课时学习内容与目标之间的联系，合理规划，可以帮助学生在逐步递进式学习中感受外在的学习过程，感知内在的知识整体性。以《比例尺》教学为例，比例尺的教学基础是比和比例意义的建立、应用比例基本性质解决实际问题。比例尺是比例应用中的特殊情境，二者有共性。教学中对于比例及其基本性质的有效把握，决定了比例尺学习目标的达成。此外，准确理解比例尺本身对于应用也起着决定作用。因此，比例尺教学不仅应考虑这两课时，而且需要组织单元整体结构的规划，即借助概念间的横向联系，形成清晰的意义联系；借助比例基本性质的迁移应用，形成具体情境下比例尺的灵活应用（包括比例解、倍比解、化线段比例尺解等）。

（2）过程推进结构化，帮助学生体验先慢后快的厚积薄发

以核心内容为课堂推进主体是新课程改革以来数学课堂呈现出的显著变化。学与教的过程需要让学生经历并不断思考，以促成其核心能力的阶段发展。尤其要关注的是过程推进的层次，即由平行匀速走向逐层递进的非匀速。以《比例尺》两课时重建教学为例，前奏是关键，应用是核心。第一课时比例尺概念的建立抓住三点展开：①比例尺是什么？从大量的直观体验入手帮助学生建立比例尺概念。（师：这些地图中A地到B地的距离为什么都不同？这种比你是如何来理解的，请举例说一说。）②比例尺有哪些？（缩小、放大、数值式）从对比中引导学生建立意义联系。（师：比例尺还有哪些不同的形式，你能通过例子来说明吗？）③比例尺与原来学习的比、比例有什么联系？你能结合原来的问题，自己摸索或编制有关比例方面的实际问题吗？在上述三个核心问题的推进中，教师始终以比例尺概念及应用为核心，让每个学生经历丰富“思考”与“实践”过程，完善认知，学习节奏相对慢些。第二课时比例尺的应用，教师可以加快节奏，通过学生的自主反馈及应用反思，突出学习的困难与变化，进行针对性拓展。同样，先慢后快的设计亦可应用在“解决问题的策略”、“找规律”、“图形计算”等教学中，突出“找”、“思”、“做”、“想”的过程，抓住规律，寻示方法，最终实现厚积薄发。

（3）应用延伸结构化，帮助学生经历由薄到厚的往返过程

学习节奏的变化也体现在应用练习中，如果从结构视角来审视其应用的价值，让每一位学生体验应用的过程，那么抽象的数学知识就能在融合多种知识的实践活动中，通过个体（群体）“做”中反思、“用”中回顾，实现由薄到厚，再由厚到薄。例如《比例尺》教学中的实践应用，教师的视角不局限于书面的简单计算，而进一步思考与思维活动、实践活动的融合。笔者在重建中融入了两个研究活动。其一，研究平面图形放大（缩小）后边长、周长、面积的变化规律，让学生体验比例尺在应用中的变化；其二，开展校园平面图、微型零件的绘制活动，让学生结合后续“图形与位置”中关于方位的表征方式，开展实践活动，提升应用意识与能力。两个层次的研究，让学生走出做题的简单抽象，进入现实情境，放手去“做”与“思”，在活动过程中激发兴趣，实现相关数学活动经验的积累。

2.放缓节奏、丰富过程、体验生成的核心是获得问题解决中数学思考的过程

“学会运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[4]是新课程实施对数学学习提出的总目标。以学生认知规律合理推进学习活动，丰富过程，定能让学生获得思考的乐趣。

（1）设置冲突点，激活思维

小学生由于其思维发展水平及原有认知能力的局限，在面对现实问题后的整体思维活动有赖于问题情境的现实分析，并在问题个性表征基础上进行模式识别。[5]因此，只有对数学问题进行思辨，在思维的矛盾冲突中实现新思考，展开新实践，才有可能整合并提升其多方位的思维品质。如此放缓节奏、丰富过程、体验生成需要让学生经历现实的问题冲突，体验知识的产生、发展过程。例如苏教版数学第十一册《解决问题的策略——假设》教学中，笔者改变”问题呈现—指导解答—巩固应用”式的线性推进方式，而是将问题由简化繁，在多样性的方式推理中实现对“假设”原理的理解。

T（出示问题）：全班42人去公园划船，一共租用了10条船。每条大船限坐5人，每条小船限坐3人，租用大船和小船各几条？你能用什么策略来解决问题。（学生主体活动，提供具体解决方案）

S1：可以去凑，如果全是10条大船，这样就是50人，然后大船减少，变成小船。所以答案是大船6条，小船4条。

S2：我的方法差不多，可以是列表，把所有的情况都列出来，这样答案也是一样的。

S3：我是从小船开始想的，如果10条全是小船，然后大船增加，小船减少，答案是大船6条，小船4条。

S4：，我想可以从5条大船、5条小船，从中间开始，这样是40人，只要凑一次就正确了。

T（小结）：解决问题，同学们运用一一列举的策略，但根据实际情况，在列举时可以从极端情况列举，也可以从中间列举。那如果人数是48人，38人，32人，又如何来列举呢？哪种方式更灵活、快捷？（学生根据数据变化，体会列举方式的多样性）

T：如果有1000条船，有4900人想全部坐上去，每条大船坐5人，每条小船坐3人，这时需要多少条大船？多少条小船呢？数据变大了，你还能解决吗？（学生明显感到疑惑，有困难）

T：面对这么大的数据不利于分析，在数学上我们一般可以从小数据入手，在解决过程中发现规律，最后应用发现的规律解决问题。我们不妨还是先解决10条船的情况。找一找其中的解决规律……

在整个设计中，笔者并没有直接给出问题，而是走了一条“弯路”，即让学生先去体验问题解决的多样性，再呈现大数据问题，利用问题冲突激起学生数学探究的兴趣，引领学生体验化归思想。丰富的问题分析与建模过程，促进了学生在明理中实现思维品质的提升，思维、情感的深入，帮助学生认识到策略的数学本质。

（2）应用问题链，环环相扣

美国著名数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力；有了问题，思维才有创新。”梅克（J.Maker）、斯克维（Schiever）在剖析问题的分类中，提出“问题连续体”的概念，即一种开放性的、连续的、序列的问题体系。[6]有效借助问题链的意义联系及层次推进，丰富过程、体验生成，进而实现思维品质的提升。

例如苏教版第五册的实践活动《图形的分割》，教师就是通过4组连续性的问题，帮助学生在操作中感悟方法，应用规律。

①操作感知——设置冲突。“你能将正方形分成面积相等的两个部分？”学生基于原有经验，通过对称轴很快找到了相应的直线。教师追问：“除了这4条直线，还有其他直线也能将正方形分成面积相等的两部分吗？”问题打破了学生固有思维，有效激起了认知冲突。

②特征分析——探究原由。学生通过实践操作找到了一些符合条件的直线，而且这些直线都经过了正方形的中心点。教师提问：“刚才是通过剪、拼的方法找到了这些直线，那如果不剪，你也能试着分析证明‘经过中心点的直线将正方形分成面积相等的两部分吗？问题聚焦于图形的特征分析，即对两部分图形各对应边的观察理解，帮助学生初步体验图形证明的过程。

③变化情境——规律迁移。“如果将长方形分成面积相等的两个部分，又有多少种不同的方法？”“如果是平行四边形呢？”教师变化图形，学生进行规律迁移，并进行操作验证，发现规律的普遍意义。

④特例分析——反思质疑。学生基于操作与论证，找到了规律并能主动应用于其他正多边形。教师提问：“发现的规律，是不是所有的正多边形都适用，能不能找到反例？”学生发现正五边形只有5条直线，问题再一次打破固有思维，引导学生在质疑中反思，形成新思考。

正是在这4组问题链的引导中，教师不断引领学生对现象进行深入分析，逐步由对称轴走向过中心点的任意直线，层次推进，不断打开思维，丰富了学生数学思考的过程。

3.放缓节奏、丰富过程、体验生成的关键是借助学习过程实现学生心智的同步发展

放缓节奏，丰富过程，在意义联结中能深化对数学知识的理解、应用与创新，促进心智发展，让每一位学生在数学学习中获得发展动力。过程的丰富性、体验的实践性、应用的创造性，能有效帮助学生在具体的数学学习活动中“获得知识、应用知识、抽象推理”，形成心理和智能的提升。

①经历探究过程——让“知”与“思”同步。放缓节奏，让学生经历完整的问题解决过程，经历“动作思维—表象思维—探究内化”的过程，有助于学生对现实问题进行数学化表征，并在抽象中实现数学分析，建立数学模型，进而实现在数学知识理解基础上的数学思想方法的突显；“思”与“知”的同步有助于学生在“做”与“思”中形成并积累丰富的数学思想方法、数学基本活动经验，并为后续学习提供智能支撑。

②经历推理过程——让“思”与“能”同步。丰富过程意味着学生有更为多样的情境选择，并能进行思维的聚散，思维品质提升的背后是数学能力素养的发展。教师开放性的问题、有效的互动交流、针对性的资源分析、及时的反馈指导等都能有效引领学生在经历数学推理中实现知、行、意、行的统一，实现数学素养的提升。

③经历体验过程——让“能”与“情”同步。体验生成让学生随着知识的产生、发展过程而心随意动。数学的探究、体验过程，必将伴随着积极的情感体验而不断促进学生个体展开活动。可以说情感与意志只有在丰富的、安全的情境下才有可能被激发，只有在挑战中才得以维持，并进一步作用于学习本身。经历体验并不断生成的过程，能使得每一位学生感受到数学的变幻，内容的丰富，形式的奇特，“能”与“情”的同步，将进一步提升学生应对各项研究的良好情绪。

美国学者、教师心灵导师帕克·帕尔默在《教学勇气——漫步教师心灵》一书说道：“教学需要从心灵出发去分析，不要过分关注教学技术，不要过分关注学生智力……而要关注主观、内在的情感及心灵的力量。”[7]放缓节奏、丰富过程、体验生成是一种慢的教育，是在由慢而快的道路上的探索，让我们的数学课堂鲜活起来，放缓节奏或许能为您解开诸多难题。

参考文献：

[1][3][4]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012：4.45.8.

[2][5]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010：41.285.

[6]陈爱苾.课程改革与问题解决教学[M].北京：首都师范大学出版社，2004：105.

[7][美]帕克·帕尔默.教学勇气——漫步教师心灵[M].吴国珍，等译.上海：华东师范大学出版社，2005：21-22.

责任编辑：石萍

Slow Tempo and Mathematics Growth

JIANG Min-jie

（Juqianjie Primary School， Changzhou 213003， China）

Abstract： Based on the belief of “designing for learner”， mathematics class needs to provide learners with opportunities for experiencing production， development and application of mathematics knowledge in their autonomous participation. To effectively guide students to go through the process， teachers should slow down the tempo， enrich the process， and experience the production； To fulfill the synchronous development of primary school students mind and body， teachers should utilize the structure to facilitate and plan the learning process， the problem-solving to form mathematics thinking， and the process experiencing of sense integration.

Key words： primary school mathematics； tempo of learning； structure