探讨最值的性质及其求解方法

汤宇

摘要：在高等数学的教学过程中，最常见的问题就是最值的求解方法，对于各种函数的组织的性质的分析。比较常见的函数的最值求法比较灵活多变并且种类繁多，是教学活动中的难点也是学生掌握的难点部分，所以要采用合适的教学方法对于函数最值的求法进行教授，只有设计合理的教学方案才能收获很好的教学效果。笔者在文中主要对函数最值的性质进行分析，并且分类对函数最值的求解方法进行了详细的分析。

关键词：最值的性质 求解方法 函数求导

▲▲一、函数最值的性质

从函数的基本性质出发来看，一些函数存在最值，有些函数却不存在最值，比如一次函数以及正比例函数和反比例函数等不存在最值，但是二次函数以及三次函数等存在最值。在函数最值的求解过程中，对二次函数进行一次求导，使导函数的值为零的自由变量就是函数的极值点，换言之，就是导函数的驻点对应的函数值就是函数的最大值或者是最小值。在对三次函数进行求导的过程中，导函数的根存在多种情况，对于无根的情况就是函数无最值，有重根以及异根的情况都是函数存在驻点，但是函数的驻点却不一定是最值点，所以，就需要在教学活动中，对学生分辨极值点以及最值点的区别，并且在掌握了各种函数的基本性质之后采用正确的方法对于函数的最值进行求解。

▲▲二、常见函数的最值求解方法

1、对一元函数最值的求解

在对一元函数进行最值求解的时候，要先对其进行求导，其导函数的驻点就是函数最值点。为此，要首先对于函数的导函数的求导方法进行了解和掌握，函数如果在一点处连续，这是函数可导的前提条件，那么对函数进行求导，得到的导函数的根就是一元函数的最值点。最对一元函数进行求导过程中，首要的步骤就是要先求解函数的导函数，得出了导函数的驻点以及不可导点之后，再将驻点以及不可到店导入函数中求出对应的函数值，并且对于函数的定义域端点处的函数值也要进行求解，最后，再对于求解出驻点处对应的函数值以及定义域端点处对应的函数值进行比较，大的值就是函数的最大值，小的函数值即为函数的最小值。经典例题举例说明：已知函数f （x）=ln（1+x）-x，求函数的最大值，首先要对f（x）求导得f'（x）=1/（1+x）-1，导函数的唯一根为x=0，则函数的最大值为f（0）=0。例2：若已知f（x）=x3-x，试求f （x）的最值，首先求出导函数的根，有-1、0、1，它们是f（x）的极点，然后得到函数的原函数的增减区间，f（x）的四个单调区间分别为减区间、增区间、减区间、增区间，比较三个极值的大小，得到最小值为-1/4+c。

2、对于二元函数的最值求解方法探讨

（1）配方法

在对二元函数进行最值求解的过程中，要首先对于二元函数的结构特征以及性质进行分析，除此之外，还要结合函数的特殊性质，对于二次函数进行适当的配方，使其能够转化成为一元函数来进行求解，之后再利用函数的基本性质，对于函数进行相关的求解，比如函数的绝对值大于零或者是函数的平方大于等于零等处理方法进行求解。相关例题说明：已知x-y2-2y+5=0，求x的最小值，首先将函数转化为一元函数x=y2+2y-5，然后将方程右边进行配方，得到y2+2y-5=（y+1）2-6 ≥ - 6，则x 最小值为- 6。例：求2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值，合并同类项得2x2-4xy+3y2-12y+13=2（x-y）2+3（y-2）2+1，当x=y=2时，原函数的最小值为1。

（2）求导法

通過二元函数的性质分析可以知道二元函数的极值在函数的不可导点以及驻点处，二元函数存在最值的充分条件为函数在连续并且存在极值，函数在抹点处取得极值的必要条件就是函数在某一点处存在二阶偏导数，令函数对x的二阶偏导数为A，对y的二阶偏导数为B，对x、y的偏导数为C，若B2-AC小于0，并且A小于0，则该点处的函数值为极大值；若B2-AC小于0，并且A大于0，则该点处的函数值为极小值；若B2-AC小于0，则该点不是极值点，根据求出极值来得到最大值。

3、对于三角函数最值的求解方法探讨

对于三角函数最值的求导是函数最值求导的重要组成部分，三角函数在高等数学中国所占的比重视比较大的，所以在三角函数最值的求解方法的教学过程中，三角函数的教学课时比重是比较大的。对于三角函数的最值进行求解，其实就是对于三角函数的复合函数进行最值的求导，这就需要学生对于三角函数的基本知识进行充分的了解和掌握之后才能够对其进行灵活的求解。在解答三角函数的最值问题时，需要充分了解函数的定义域对值域的影响和正弦、余弦的取值范围，同时还要应用二次函数在闭区间内的最值，像利用函数的正弦与余弦的平方和等于1等性质。在刚刚学习三角函数时，需要从基础出发，避免计算量过大的题目，从基础出发，加强三角工具的应用意识，重点培养学生分析问题的能力。

4、对于解析几何中的最值求解问题

解析几何中的最值问题是解析几何综合性问题的重要内容之一，常以直线与圆、圆锥曲线等内容为载体，综合考查函数、不等式、三角等知识，涉及的知识点较多，属偏难问题。其常见方法首先有代数法，代数法就是先建立一个“目标函数”，再根据其特点灵活运用求函数最值的方法求得最值。其次就是几何法，几何法是借助图形特征利用圆或圆锥曲线的定义及几何性质来求最值的一种方法。最值问题在数列和立体几何应用题等知识点中也有体现，但都可以转化为函数或解析几何形式的最值问题来予以解决，这里不一一细述了。对于解析几何中的最值求解问题需要学生多进行解题练习，对于多种题型的解题方法都要有很好的掌握，这样才能够做好解析几何中的最值求解问题。

▲▲三、结束语

综上所述，对于各种函数的最值求解问题是多种多样的，教师在实际的教学活动中，要采用合理的教学方法，对于教学计划进行详细认真的制定，要在课堂的讲课中对于函数的最值求解的多种方法要进行讲解，这样才能够使学生更好地掌握函数的性质以及最值的求解方法。

参考文献：

[1]张秀芳.多元函数条件极值的解法探讨[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2009；3