高中数学教材必修五若干问题的实践与研究

摘 要：数学必修五是高中数学课程新课标必修模块的最后一个模块，包含解三角形、数列和不等式. 在过去的教学实践中，本人秉承着不拘一格、积极创新的精神理念对教学方法进行了认真的探索和细致的研究，并取得了一些好的效果.

关键词：必修五；研究；实践

[?] 操作实验下的知识生成

在正弦定理的引入教学中，教材的处理方式是先研究一类特殊的三角形——直角三角形的边、角关系，得到关系式==，然后提出问题：这个关系式对一般的三角形是否也成立？从而引发对正弦定理的研究和探讨. 这种处理方式遵循了从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到复杂的认知规律，一直被旧教材使用，也在新教材中得到了继承.

现在是新教材的试验阶段，教学者应该勇于探索、敢于创新，而不能因循守旧、墨守成规. 在教学之前，本人曾经慎重的思考过，这样的引入方式是否是必需的，能否做一些与时俱进的改进？最后本人认为这样的引入方式并不是必需的. 其理由是：

（1）直角三角形是一类非常特殊的三角形，它的边角关系式如此的简单、如此的显然，以至于它不需要正弦定理. 正弦定理在处理一般三角形的时候能够成为反映边角关系的重要工具，但对于直角三角形来说，这个工具意义不大. 因为它对于直角三角形的边角关系并没有起到从本质上进行简化的作用.

（2）课堂时间是宝贵的，我们应该在课堂时间有限的情况下尽可能地提高课堂教学的效率. 先研究直角三角形的正弦定理，再研究一般三角形的正弦定理，这是否是一种重复？是否是对时间的浪费？两者是否能够合二为一？如果能够把直角三角形的正弦定理应用到一般三角形的正弦定理的证明之中，也就是说，把对一般三角形的正弦定理的证明建立在直角三角形的正弦定理的基础之上，那么以上的过程就不算是重复. 但是，无论是从教材的写法还是从课堂教学的实践我们都看到这样一种处理方式是很难实现的.

为了体现新课程标准中运用信息技术的理念，本人在教材的基础之上做了一些小小的尝试. 本人利用几何画板软件画出了一个三角形和它的外接圆，然后做了两点演示：

（1）保持外接圆不变，改变三角形的形状；

（2）保持三角形的形状不变，改变外接圆的大小.

在演示的过程中，本人让几何画板同步显示∠A，∠B，∠C，a，b，c，sinA，sinB，sinC，，，等这些与三角形有关的数据，然后提请学生观察这些数据有哪些在变化，哪些没有变化.

例如，在演示（1）中，当保持顶点A、B固定，而改变顶点C的位置时，学生会注意到∠C 和边长c 是不变的，当然也会注意到，，都没有变，而且保持==. 而在演示（2）中，学生会注意到∠A，∠B，∠C是始终不变的，而边长a，b，c和，，都在变化，但也保持==.

[C][A][B][a][b][c][A=59.61°

B=68.69°

C=51.70°

a=4.48厘米

b=4.84厘米

c=4.07厘米

=5.19厘米

=5.19厘米

=5.19厘米][图1]

我们看到学生对这样的演示很感兴趣，并且能够积极地说出哪些量没有变化，特别是能够说出==，因此，本人认为已经初步达到了让学生接受正弦定理的目的.

本人认为这样的引入是直观的、感性的、自然的，结合了信息技术的应用，体现了新课标的理念. 当然，这种处理方式纯粹是为了引出正弦定理这个课题，而不能够代替它的证明. 正弦定理的证明是本节课的重点和难点，它的难度并没有因为上述的处理而有任何的降低.

[?] 在解题过程中的模型化教学

作为解三角形和解一元二次不等式的一个知识交汇处的综合题，在教材的81页有这样一道习题：据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴450 km以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？

我们厦门市作为一个沿海城市，经常遭受台风的威胁. 这道题是一道很好的应用题，把数学问题和实际问题相结合，充分地展示了正弦定理、余弦定理的作用，恰到好处地体现了新课标强调培养学生的数学思维能力与数学应用意识的理念. 本人仔细地阅读了该题和教参提供的解答之后，迅速地意识到这道题目蕴涵着丰富的思想，有很大的空间可以发掘. 进一步地，本人思考了这样一个问题：这道题的几何模型是怎样的？解决这个题目是不是一定要用余弦定理？

本人认为，台风问题的几何模型可以抽象为：平面上一个圆心在固定直线l上，半径为定长r的动圆与一个固定点A的位置关系问题. 而这个模型的本质可以做进一步的简化，即以固定点A为圆心，以定长r为半径的圆与定直线l的位置关系问题. 一旦有了这样的认识，把台风问题的本质提炼到这一步，这道题的思路就水落石出了. 因此，即使不用正余弦定理一样可以利用平面几何的方法求解这个问题.

[?] 在教学过程中，注意知识的螺旋式上升

简单线性规划是不等式理论的深入和拓展，也是优化理论最简单的情形. 进行简单线性规划不外乎包括这几个步骤：建立数学模型、写出不等式组、绘制可行域、求最优解. 在这一过程中，根据不等式组绘制可行域是最困难也是最关键的步骤. 因此，本人认为，教会学生掌握绘制平面区域的技巧具有极为重要的意义.

教材是这样处理的：

我们不妨先研究一个具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形.

[x][O][y][A（x，y2）][P（x，y1）][l：x-y=6]

图4

如图4，在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线. 平面内所有的点被直线x-y=6分成三类：在直线x-y=6上的点；在直线x-y=6左上方区域内的点；在直线x-y=6右下方区域内的点.

设点P（x，y1）是直线l上的点，选取点A（x，y2），使它的坐标满足不等式x-y<6，填表，并在图中标出点P和点A.

[横坐标x＼&-3＼&-2＼&-1＼&0＼&1＼&2＼&3＼&点P的纵坐标y1＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&点A的纵坐标y2＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

本人认为，教材的这种写法是严谨的，因为它把不等式x-y<6和平面区域{（x，y）

x-y>6}之间的关系讲得十分透彻；同时它也是必要的，也确实是这个知识点的标准证明. 但本人认为，这一过程比较严格、比较抽象，学生不容易一下子接受，因此本人认为把这一论证过程放到若干课时之后，即学生对平面区域的画法有了一定的基础之后再讲授，也许更合适一些. 而作为简单线性规划课的第一节课，我们完全可以采用形象一点、直观一点的传授方式.

本人在教学时是这样实施的：

提出问题1：设函数f（x）的图象如图所示，能否画出由{（x，y）

y>f（x）}表示的区域？

[（1） （2）][x][O][y][x][y][O][y=f（x）][y=f（x）]

几乎全班同学都告诉本人所求的区域就是该函数上方的那部分区域，如果画出来的话，就是下图的阴影部分.

[x][O][y][x][y][O][y=f（x）][y=f（x）][（3） （4）]

本人只是展示了这两个函数的图象，而并未告诉学生f（x）的具体解析式，其理由有两个：（1）对于这两个函数来说，区域{（x，y）

y>f（x）}的画法是一目了然，不告诉他们f（x）的解析式并没有增加这个问题的难度；（2）本质上而言，平面区域{（x，y）

y>f（x）}的画法与f（x）的解析式无关. 换句话说，不管什么样f（x）的，平面区域{（x，y）

y>f（x）}的画法都大同小异. 既然如此，又何必一定要强调题目中的f（x）的解析式呢？事实上，学生也确实能够说出该区域的图象，这正说明他们对于不等式与平面区域有着非常直观和准确的认识.

本人首先指出学生的回答是正确的. 的确上述问题中的函数f（x）的图象把整个平面分成了三部分，f（x）的图象自身一部分，图象上方一部分和图象下方一部分. 区域{（x，y）

y>f（x）}就对应着图象的上方那一部分.

本人又问，对于上图中的f（x），{（x，y）

y≥f（x）}表示的区域和{（x，y）

y>f（x）}表示的区域有何区别？几乎所有的学生都回答前者是带边界的，而后者不带边界. 这就说明学生对于不等式y≥f（x）和不等式y>f（x）所分别对应的图象也有着清晰的认识.

在学生具有这样较高的几何直观的前提下，本人认为应该趁热打铁，指导他们绘制一些稍微复杂的平面区域. 在这一过程中，本人采用了先易后难、循序渐进的方式来诱导他们掌握画图的方法.

本人提出问题2：

（1）设f（x）=x，试画出{（x，y）

y>f（x）}表示的区域.

（2）设f（x）=1-2x，试画出{（x，y）

y>f（x）}表示的区域.

这两个问题不难，学生很快就解决了.

然后本人马上提出问题3：试确定由集合{（x，y）

x+2y-3>0}表示的区域.

此时的不等式比起上面的不等式来说就复杂了一些，学生画起来可能会遇到一些困难. 但本人认为，刚刚进行的画区域的工作已经为解决这道问题提供了足够的准备. 画出区域{（x，y）

x+2y-3>0}所需要的方法已经是呼之欲出的. 事实上，在经历了刚才的画图之后，学生全都不约而同地把x+2y-3>0化成了y>-+的形式，然后绘制y=-+的图象，并取图象上方的区域作为{（x，y）

x+2y-3>0}所表示的集合. 他们丝毫没有意识到这样做正是教师所期待的.

至此，本人认为不等式（组）与平面区域这一节中最关键的教学目的已经初步达到了，学生已经在不知不觉中掌握住了画二元一次不等式表示的平面区域的方法.

小结一下，这个方法就是把形如ax+by+c>0或ax+by+c<0（b≠0）的二元一次不等式化成形如y>kx+b或ykx+b或y

也许有人会有疑问，为何要把形如ax+by+c>0或ax+by+c<0（b≠0）的二元一次不等式化成形如y>kx+b或ykx+b或y

新课标已经实施好几年了，本人对新课标的研究和探索一直在进行，在这一过程中有成功也有失败，但只要注意积累、加强钻研，就一定会有收获.