新课标下立体几何中应关注的几个问题

甘海

立体几何是高中阶段非常重要的一部分内容，高中新数学课程标准中的“立体几何”主要包含两个部分，必修2中的“立体几何初步”和选修2-1中的“空间向量与立体几何”.如何在新课程理念下对立体几何进行有效的教学始终是众多同行研究讨论的热点，笔者结合近几年来新课程的教学实践谈谈立体几何教学中应注意的几个问题和体会.

1.对柱、锥、台、球及其简单组合体的认知

按照课程标准的要求，教学时首先通过实物模型或借助计算机，让学生观察大量的空间图形，通过直观感知，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，通过实践与体验去发现、确认这些几何体的本质特征，抽象概括出这些空间几何体的概念.必修2的前半部分对这些概念比较抽象，在后半部分求空间几何体的表面积和体积时才有对直棱柱、正棱柱、正棱锥的概念作出明确的表述，这与传统的立体几何内容相比发生了很大的变化，因此笔者认为应让学生观察后，再利用已有的经验去感知这些空间几何体，通过充分的感受去发现它们的本质，理解立几知识的产生源于发展过程，从而获得解决问题的情感体验.

例如对台体的结构特征的把握上，先让学生直观感受台体是由平行于底面的平面去截棱台（或圆台）所得的剩下的几何体，引导学生发现棱台的主要特征——有两个面平行，且所有侧棱延长后相交于一点，这样使得学生对“形”的把握上更加准确，也感知理解了立体图形的结构特征.

2.点、线、面的位置关系

新课程标准中，对于立体几何的推理论证的要求是分阶段、分层次地达到要求的，其中点、线、面的位置关系一直以来都是立体几何的重要考查点.由于初中义务教育阶段对几何的推理论证能力的要求有所降低，所以高中数学新课程中“立体几何初步”阶段以论证较为简单的位置关系为主，而线线与线面的位置关系尤为关注.

图1 例1 （2009年江苏卷，16） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C.

分析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的

位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力.

第（1）问关键在于EF∥BC，第（2）问依据A1D⊥平面BB1C1C不难求证.纵观近几年的高考试题，我们可以发现考查的线线与线面的位置关系难度系数不大，因此在教学中要引导学生理解并掌握这些基本的推理论证要求.

图2 例2 给出下列命题：（1）三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=60°，则∠BPC必小于60°；（2）过平面α的斜线l有且只有一个平面与α垂直；（3）四棱锥的四个侧面中最多有三个直角三角形.其中，真命题的个数为 个.

分析 命题（1）是假命题.可举如下反例，如图2，设PA=AB=1，AC=x， 有PB= 2 ，PC= 1+x2 ，BC= 1+x2-x .令cosθ = 1 2 ， 在三角形PBC中，由余弦定理可得2+1+x2-2· 2（1+x2） cosθ=1+x2-xx=2+ 6 .即当x=2+ 6 时，θ= 60°，故原命题是假命题.

借助身边的实物比画操作可知命题（2）是真命题.

图3

对于命题（3），可以把它放在一个特定的长方体中，如图3，四棱锥P-ABCD，易证得其各个侧面都为直角三角形，即原命题为假命题.

故本题中真命题的个数为1个.

从上例可以看出当难以想象出满足题意的空间图形，或者一个立体几何问题用直接推理的方法不容易想时，不妨换个角度来思考，把它“嵌”入长方体或其他熟悉的几何体中，化抽象为具体，做到有“体”可循，许多问题就可以迎刃而解.

3.向量法解决复杂的角和距离的运算

向量的引入，开辟了许多立体几何问题求解的新途径，借助空间向量来处理异面直线所成的角、线面角、二面角和距离的问题简单方便.向量法的特点是图形简单，思路清晰，降低了思维难度，将几何问题代数化，解法也相对比较固定，学生操作起来容易接受.

4.开放式的立几探究题型

根据新课程的教学理念，高中数学课程应“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，开放式的探究题型就是其中一个很好的教学方式，它有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造过程”.

图4 例3 如图4，PA⊥ABCD所在的平面，则当 时，AC⊥BD；当DC⊥ 时，PD⊥DC.

分析 从结论出发往前推测，假如AC⊥BD成立，

由PA⊥BD，可知BD⊥平面PAC，从而PC⊥BD；

假设PD⊥DC成立，又PA⊥CD，可知CD⊥平面PAD，从而得DC⊥AD.因此答案是BD，AD.

这类的问题教师在教学过程中应适当创设开放性问题情境，给予学生充分的思维空间和展示空间，让学生主动地参与探究，使学生通过观察、操作、思考和交流，培养学生提出问题和解决问题的能力，让学生强化应用的意识，感受数学创造的乐趣，也更有利于学生对空间几何体图形结构的把握，形成更全面的认知.

总之，新教材中的立体几何已有别于传统的立体几何，它突出了直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算这一逐步分层次的探索研究几何的过程，也遵循了新知识螺旋式上升的发展规律，更有利于学生的整体发展.因此随着新课标的实施，教师关键要真正领悟数学课程标准的精髓，在新课程理念下关注、研究以上几类问题的教学，才能更好地培养和发展学生把握图形的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.