“化圆为方”之二——尺规作图、规矩数和π

李先铜

虽然论文已经从哲学的高度、数学的高度、几何的高度，解决了化圆为方问题，但是还有一些人们怀疑的不清楚的问题，特别是尺规作图问题，等等，需要做进一步地说明和论证.

一、在哲学上、几何上，我已经解决了化圆为方问题

1.在哲学上，哲学只是回答，化圆为方可不可能的问题.可能就是可能，不可能就是不可能.早在1831年，黑格尔在《哲学史讲演录》里说，化圆为方是不可能的，是个永垂不朽的问题，是伪命题.我现在化圆为方成功了.这说明，我在哲学上已经推翻了哲学的化圆为方不可能的神话，使化圆为方这个伪命题，成了真命题.

2.在几何上，我也取得了化圆为方的成功.几何是数学的一个分支.几何论证问题，首先在于审题.对于化圆为方这个几何问题，正确的审题是：把圆和方划分成相等的或者可以证明的几何的形或者块，然后证明各个几何的形和块相等，最后得出它们相等的结论.

至于把它们划分成什么样的几何的形或者块，是扇形还是弓形，是三角形还是尖角形，还是月牙形，是不能预先限制的，要根据具体的情形而定.笔者在证明化圆为方的时候，采用的几何图形是半圆形（半圆规），用这个半圆几何图形来解化圆为方这个几何问题，是正确的几何解题思路和方法.

而数学家怀疑我用的半圆规这个几何工具，也就是怀疑半圆这个几何图形.这种怀疑是没有几何依据的.

二、关于尺规作图问题

1.圆规的定义

圆规的定义是：画图时作圆的工具.

圆规不是天生的，而是人造的.造什么样的圆规，是个哲学问题.

哲学，在两千多年前，称作形而上学.所谓形而上学，是指形而上的东西，是超乎形的东西.那么，对于圆规的定义来说，就不能有形状的限制.如果要受形的限制，那就应该受到圆的天性的限制.而圆的天性就是圆形，而不是两只脚的怪物.

我解化圆为方的时候，用了半圆规这个几何工具，这既是符合哲学的，又是符合几何学的，还符合圆规的定义的.而且，这个半圆形规，还具有圆的天性.

2.尺规作图的问题

古希腊人认为数学的精髓在于：基本假设越少越好，推出的命题越多越好.对于作图工具，当然是越少越好.根据《几何原本》第三条公设：以任意中心和直径可以作圆.数学家就得出了作图工具只能是直尺和圆规的推论.他们认为，直尺和圆规是最少的两样作图工具.

事实上，在这里，数学家犯有两个错误.一是，直尺和圆规是最少的两样工具.殊不知，我今天所用的工具，只是一件工具——半圆规（我称作尺规）而已.我的这个一件工具——尺规（半圆规），比他们的两件工具——直尺和圆规还要少.所以，我这一件工具，才是最少的工具，才真正符合最少工具这个哲学定义.而我这一件工具，还解决了化圆为方的问题.他们的两件工具还没有解决化圆为方问题.所以，这不能不说，他们犯了个错误.

第二个错误是什么呢？根据《几何原本》第三条公设：以任意中心和直径可以作圆.数学家就推出作图工具只能用直尺和圆规.我认为，这个推论也是错误的.

这个推论的错误在于：因为我不需要圆规，同样可以作圆.只需要将直径的中心定为圆心，将直径对折得到中心和半径，将中心固定，让半径旋转即可作圆.根据工具越少越好的原理，就不必要再用圆规了.或者说，用直尺，就可以作圆.具体作法是，将直尺的一端固定为圆心，将其另一端旋转，即可作圆.因为工具越少越好，所以，圆规就多余了.

居然圆规是靠旋转作圆的，那么，我当然可以让直尺旋转作圆啊.

那么，根据第三条公设，我得出圆规多余的结论.对不对呢？这是第三公设错了，还是我的推论错了呢？

其实，这第三条公设没有错，我的推论也没有错.而是数学家的推论：只能用直尺和圆规作图，错了.

那他们是怎么错的呢？

根据第三公设，以任意中心和直径可以作圆，可以推出，直尺和圆规可以作图的结论.但这不是作图的唯一方法.数学家的错误，是把这个可行的方法，当作了唯一的方法.把这两样可行的工具，当作只能采用的工具.所以，是数学家错了.这是逻辑上的错误.

三、关于规矩数问题

1.规矩数里，数学家犯了一个错误

规矩数的规指圆规，圆规作出的图是圆弧或者圆周.在数学王国里，圆规就是用圆弧和圆周来存储数据的.规矩数中的矩指直尺，直尺作出的图，是直线.在数学王国里，直尺就是用直线来储存数据的.

为了表达更准确，我把规矩数中圆规代表的数，称作规数，把直尺代表的数称作矩数.这样，因为圆规只能作圆周，所以规数就只能表示在圆周上.因为直尺只能作直线，所以矩数就只能表示在直线上.规数和矩数以及它们合作产生的新数据，统称规矩数.

值得注意的是，圆规是不能作出（画出）半径或者直径的，半径和直径只能由直尺画出的.所以，半径和直径只能是直尺的数，是矩数.数学家在这里犯了个错误，他们认为，圆规是用半径或者直径来储存数据的.或者说，数学家想当然的，并不是理论证明了的，把半径和直径当作了圆规储存数据的地方.这是数学家的错误，并不是规矩数的错误.

2.关于弧度的秘密

其实，圆周的旋转或者滚动，早在17世纪就产生了，这是数学史上的一个秘密.因为弧度点，也就是等于半径长度的那段圆弧在圆周上的那个点，早在17世纪随着弧度制的产生就产生了.这个点是怎么产生的呢？就是圆的旋转或者滚动产生的.这个秘密人们一直不敢捅破.究竟是什么原因呢？原因就是数学家把圆规限定为两脚规造成的错误.

3.关于π的问题

数学家说，π不是规矩数.他们说π是超越数.这又是数学家的一个错误.

众所周知，π之所以产生，是因为圆周.圆周的产生，是因为圆规.没有圆规，就没有圆周，就没有π.圆规画一个圆周，π就产生了.所以，π是圆规画出的数，理所当然，π是规矩数.

总之，数学如果接受了半圆规，规矩数也就正确了，π也就是规矩数了.有了新圆规的参与，数学新的视野就打开了.那是一个崭新的世界，那是一个广阔的天地！

我就是接受了半圆规，正确认识了规矩数，一举解决了化圆为方这个千古难题的.