“利用三角函数解决坡度问题”的教法与学法设计

张明光

在初中数学教学中，坡度问题是很现实的实际问题，是应用三角函数解决实际问题很好的素材，也是中考的重要内容，但坡度问题的计算量较大，学生计算能力又很弱，所以很容易出错. 从认知规律看，学生已经具有初步的探究能力和逻辑思维能力. 但直角三角形的应用题型较多，有关坡度问题的情境学生又不是很熟悉，而且含有很多专有名词，学生理解起来比较困难，导致建立直角三角形模型上可能会有困难，从而不能把实际问题转化为数学问题. 故将本节课难点设为：建立直角三角形模型，把实际问题转化为数学问题.

基于以上分析，将本节课教学目标设定为：

（1）应用三角函数解决有关“坡度”的问题，进一步理解三角函数的意义. （2）经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.（3）经历实际问题数学化的过程，在独立思考探索解决问题方法的过程中，不断克服困难，增强应用数学的意识和解决问题的能力.

一、教法设计

1. 教学结构及教学基本思路

本节课的主要内容是一个关于坡度的实际问题，本节课采用“研究体验式”教学，通过问题情境自然引入新课，通过对实际问题的探究、拓展，体验实际问题的解决过程，体会数学的应用价值，体会数学思想在解题中的应用，提高解题能力，培养数学建模意识，通过课堂练习巩固知识. 具体思路如下：（1）问题情境：让学生了解坡度与坡角的关系，为后继解题排除知识的干扰. （2）数学活动：出示问题，学生独立思考后小组讨论交流. 让学生先分析解决，体会实际问题的解决需要建立数学模型来刻画实际问题. （3）巩固练习：及时巩固新知，安排两道简单的练习题供学生独立解决. （4）解决问题：运用所学的知识解决生活中的实际问题，体现数学的应用价值. （5）变式训练：对数学活动进行变式，给学生的思维提供拓展的空间. （6）课堂小结：师生共同总结，完成本课.

2. 重、难点的突破方法

通过创设问题情境，提炼新概念为后续的学习做好必要的准备，降低问题1的思维量；通过让学生主动经历探索问题解决的过程，加深对知识的理解；通过例题教学，及时发现问题并加以纠正；通过课堂练习，提高学生解决问题的能力，突现本节课的重点.

通过引导学生审题、画图分析，教师点拨，逐步建立数学模型；通过帮助学生根据需要作出辅助线，从而将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题；通过在问题1教学后引导学生加以总结：梯形、斜三角形的高是将其转化为直角三角形的辅助线. 解直角三角形本质上是解边角关系，其他几何图形的边角关系问题也可以通过作辅助线化归为解直角三角形问题来解决. 通过让学生说思路、写过程调动学生探究学习的积极性；通过师生、生生间的合作与交流，达成学生对疑难问题的理解与解决，从而突破难点.

3. 教辅手段的使用

本节课主要运用讲学稿、小黑板、计算器等一些简易媒体辅助教学，以提高课堂容量，给学生更多的思考时间和施展空间.

4. 导入和过渡设计

由于问题1的情境学生不是很熟悉，含有很多专有名词，学生理解起来要花费较多时间，会让部分学生产生畏难情绪，影响学习新课的信心. 因此本节课由关于坡度的实际问题情境引入几个新概念，为后面对问题的探究做好准备，同时也能自然导入新课. 接下来的探究活动，通过巧妙设计问题串，为学生思考做好铺垫. 问题1解决后，对问题1进行简单的变式训练，问题解决后，由学生总结有关坡度问题的解决策略. 接着是对问题1的拓广与延伸，让学生进一步感受应用三角函数解决更深层次的问题，体会数学问题之间的联系，更深刻地认识问题，提高解决问题的能力. 学习完上述内容之后安排两道课堂巩固练习对所学知识进行检测. 最后师生共同小结完成本课. 各个环节层层深入、环环相扣，过渡自然，构成一个完整的整体.

5. 尊重学生个体差异，因材施教

应用题对学生来说是难点，课标对这一节的内容要求不高，由于学生在认知水平和学习兴趣上有较大差异，为了能充分调动全体学生参与课堂，因此本节课上有针对性地设计了各层次学生的问题，比如问题情境中的坡度问题、课堂练习1，问题1中设计问题串，把一个大问题分解成几个小问题，以满足不同层次的学生. 对学生感到困难的计算，让学生自己体验，同时选能力较强的学生上黑板书写解题过程，供其他学生学习、参考. 适时地安排了小组合作交流活动，带动每名同学参与学习. 对于能力较强的学生，可以把对问题的思考、分析交给他们，一方面可以活跃课堂，另一方面也能锻炼他们的能力. 通过拓广与延伸，让学有余力的同学进一步探索，培养他们思维的灵活性和深刻性.

二、学法设计

1. 学生学习本课应采用的方法

我们常说“授之以鱼”不如“授之以渔”，因此，在教学中要特别重视学法指导. 我采用以下的学习方法：（1）让学生在“做中学”，使学生动起来，大胆表述、质疑，让学生自主分析问题、发现问题、解决问题，经历观察、探究、建立数学模型等活动，达成对问题的更深理解.（2）分组讨论、交流，努力营造自主探究、协作互动的课堂氛围，达成对疑难问题的理解、解决. （3）多给学生写的机会，在书写过程中感受知识的应用，提高解题的规范性和正确率.

2. 培养学生能力应采用的方法

学生是课堂的主人，为了在课堂上培养学生的能力，得到真实的学情反馈，本节课上能让学生说的就让学生说，能让学生做的就让学生做. 特别是本节内容，学生已经掌握了一定的解题技巧，但还不成熟，学生的计算能力还要进一步加强，因此教师要把课堂放手让给学生，多让学生上黑板板演，并引导大家点评、发现问题. 这样不仅能调动学生学习的热情，还能培养学生良好的思考习惯与学习能力.

3. 学生主体地位的体现

教学中坚持以学生为主体，注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、交流等探索过程，并通过追问与设计问题的形式，让学生在解决实际问题的任务中发现了新问题，并让学生带着问题探索、交流，在思考中产生新认识，获得新的提高. 在突破难点的同时培养学生勤于思考、勇于探索的精神，增加学生的学习兴趣和享受成功的喜悦.