浅谈数学机械学习如何向有意义学习转化

宋楠

【摘要】本文以作者本人在做个人课题“高中数学机械学习的表现、成因及对策的调查研究”实施的过程中遇到的实际问题以及如何转化数学机械学习以提高整体数学教学水平为背景，就自身在教学中尝试着培养学生积极的学习态度，调动学生的内部学习动机，如何转化机械学习为有意义学习为题材，浅谈一些具体操作方法及其对相关学生的数学学习产生的实际影响，以此更好地优化教学，帮助全体学生更好、更轻松地学习数学.

【关键词】机械学习；数学机械学习；有意义学习；策略

背景：笔者所在是一所三星级普通中学，高一招收来的学生普遍为城乡结合处的学生，成绩普遍不够理想，一个班有三分之一甚至更多的学生数学成绩经常不及格.加上初中数学具有的浅、少、易的特点，很多学生在经过一段时间的学习后会发现高中数学并非想象中那么简单易学，而是非常抽象、晦涩，常常感到做题目时不知道如何下手.时间一长，一些学生就只会单纯地记忆公式和解题方法，从而丧失学习数学的兴趣和积极性，使得数学学习慢慢由有意义学习转变为机械学习，到了高二，数学学科压力的加大，使得一部分学生甚至放弃了数学.在这种背景下，笔者认为，学生学习能力的不足，是从小形成的.教师只能多进行调研，多动脑，多反思教育教学中存在的不足，及时转变教育教学理念，改进教法学法，适当降低教学难度，改善师生关系，用我们的智慧、爱心、耐心和信心为学生撑起一片蓝天，帮助他们克服高中数学学习中的困难，就能使机械学习转化为有意义学习.

美国心理学家奥苏伯尔根据学习材料与学习者认知结构中已有知识的关系，将学习分为机械学习和有意义学习.机械学习是一种单纯依靠记忆学习材料，而避免理解其复杂内部和主题推论的学习方法.数学机械学习就是指学生对数学的概念、定理、公式、法则缺乏理解，单纯重复式的、死记硬背式的学习.从学习心理学的观点解释，数学机械学习的本质就是当前所学的数学知识没有纳入到学生已有的认知结构当中去，新旧知识没有融会贯通，没有建立非人为的、实质性的联系.比如在学习高中数学必修1“函数的概念”时，很多学生能背诵函数的定义，却不知道y=f（x）=x与h=s（u）=u表示的是同一个函数；又如在高中数学必修4“三角函数”的学习中，大多数学生对两角和与差的正弦公式记得相当牢固，做题时却经常记错sinπ2+α等于多少，这就是数学机械学习.与机械学习相对的就是有意义学习，奥苏贝尔认为有意义学习是指符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当概念建立非人为的，实质性的联系的过程.为了帮助学生克服高中数学学习中的困难，作为教师就必须在自己的教学过程中引导学生逐步走向有意义学习.

归纳起来，在高中数学的教学过程中，我认为可以在以下几方面来带领学生逐步走向有意义学习.

1.培养学生积极的学习态度，化被动学习为主动学习.被动学习是一种因为外部压力或者为了应付老师和家长而进行的学习.对于主动学习的学生而言，学习的过程是一种探究的过程，他们会处于高度集中的状态，从而注意搜寻和分析新知识和过去已经学过的知识之间的共同点和差异，新旧知识在他们的知识网络里形成体系.而在被动学习的情景下，学生一般不会自觉运用已经具备的经验去理解新的知识，而往往为了应付老师和家长，采用急功近利的、语文式的学习方式，把当前学习的数学知识点或者公式结论机械地背诵下来了事.笔者所在的学校学生数学基础普遍较差，在全市处于中下等.在数学教学中，若按照全市统一的教学进度进行教学，学生的学习能力承受不了这样的教学容量，久而久之，为了达到老师的要求，一些学生就放弃了了解知识的来龙去脉，机械地套用公式、解题方法，时间越长问题越多，再想赶上已经力不从心，从而彻底沦为被动学习和机械学习.所以，针对这样的教学现状，适当地放缓教学进度，给学生一个对新旧知识融会贯通的过程，对于培养学生积极的学习态度，化被动学习为主动学习是十分必要的.

2.重视知识形成过程的教学.在学习过程中，结论是学生获得的知识，过程是学生获得知识、形成技能的历程.通俗地说，结论是学习了什么，过程是如何学习，数学机械学习就是只重视结论而忽视过程的学习.所以数学机械学习如何向有意义学习转化的一个重要途径就是重视知识发生过程的教学.比如在高中数学选修2-1“导数”的教学过程中，一些学生只会单纯地记忆如何运用公式计算各种函数的导数，对于导数的概念和导数的几何意义却不知晓，是因为有的教师在教学过程中只重视导数的计算，而对发现导数概念的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度以及切线问题却一笔带过，导数的由来不清楚，只会套用公式求导，这就导致了数学机械学习的产生.若教师在教学中按部就班从瞬时变化率到导数的定义，就算学生忘记了某些函数的求导公式也可以通过定义来推导，不用单纯地记忆公式，促使机械学习向有意义学习转化.又如在高中数学选修1-1“利用导数研究函数单调性”教学中，设计如下过程：

问题1：导数f′（x0）的几何意义是什么？

问题2：函数f（x）的图像如图所示，观察图像探讨下列问题：

（1）在A，B，C，D，E，F，G点出，哪些点处的导数大于0？等于0？小于0？为什么？

（2）函数f（x）的导数在哪些区间上为正，哪些为负？

（3）当导数为正时，图像的变化趋势是什么？

当导数为负时，函数的变化趋势是什么？

问题3：通过上述问题的探讨，你能说出函数的导数与函数的单调性之间的关系吗？

通过一系列问题的设置，让学生对于函数的导数与函数的单调性之间的关系的理解更加深刻，而不是单纯地依靠记忆书上的结论来解题.对于定理、公式、规律的教学，必须要重视结论的由来，使学生知其然且知其所以然.在教学过程中，教师一定要挖掘出教材系统前后的本质联系，让学生经历知识形成的过程，为学生理解掌握知识打下深厚的思想基础，化机械学习为有意义学习.

3.运用变式教学，突出数学概念的本质特征.变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态.变式是通过变更对象的非本质特征而形成的表现形式.变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律.数学概念是抽象的，没有对各种具体材料的变形，将会导致学生把注意力固定在事物的表面特性上，并把非本质特征当作本质特征，所以，为了使学生正确理解并运用概念，必须让学生具有各种不同的直观经验.比如在高中数学选修1-1“椭圆的定义”的教学过程中设计如下变式：

定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆.

变式1：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（等于|F1F2|）的点的轨迹是什么？

变式2：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是什么？

变式3：平面内到两定点F1，F2的距离之差等于常数的点的轨迹是什么？

变式4： 平面内到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是？

通过一系列变式的设计，让学生对椭圆的形成过程和定义的理解更加深刻，同时对圆锥曲线有一个总体上的把握.

再如，在学习高中数学选修1-1“复数概念”时，若只列举2+3i，2-5i，-6i之类的例子，学生会误认为b≠0是复数a+bi （a，b∈R）的本质特征；倘若同时列举4，3，0，1-3等例子，就能有效地排除此无关特征的干扰.通过变式的训练，加深学生对概念和法则的理解，进一步促进有意义学习.

4.在教学中注意揭示数学知识前后间的逻辑关系，而不是孤立地呈现一些数学概念和法则.例如，在高中数学选修1-1“虚数”的教学过程中设计如下的问题串：

（1）是否存在两数，其和为10，乘积为16？

（2）是否存在两数，其和为10，乘积为-24？

（3）是否存在两数，其和为10，乘积为754？

（4）是否存在两数，其和为10，乘积为23？

（5）是否存在两数，其和为10，乘积为40？

通过问题串的设置，并没有直接引入虚数的概念，而是一步一步让学生经历了引入虚数的历程，充分体现了教材前后内容之间的逻辑关系.又如，在高中数学必修1“对数函数”的教学中，教师必须反复向学生指出对数函数和指数函数这对反函数之间的关系，而不是孤立地让学生理解它们各自的图像和性质，在具体运用中也需要向学生强调对数式和指数式之间的相互转化.

全面实施素质教育，必须要求教育要面向全体学生，使每个班、每名学生得到全面而健康的发展.随着义务教育的普及，初中升入高中之后，学生两极分化现象越来越严重，面对这样的现状，数学机械学习的范围不可避免地在扩大.如何避免机械学习，是全面素质教育的要求，也是当今数学教育的一个重要课题.

数学课程标准指出：“要关注数学知识之间的联系，这包括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具体内容，体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性；还应关注数学与现实世界、与其他学科之间的联系.”可见，有意义学习不仅是数学课程标准的要求，同时也是全面实施素质教育的要求，因此，如何将数学机械学习转化为有意义学习应该得到数学老师的普遍重视，特别是笔者所在的普通薄弱高中，而究竟如何在我们的数学教学中引导学生走出机械学习的误区，实现有意义学习，值得我们每一个数学老师进行深入的思考和研究.

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