例谈平面向量“两种形式”在解题中的应用

杨祖华　张建葵

向量作为一种重要的解题工具，一直是高考的热点和重点内容，教材中对于平面向量给出了几何表示和代数表示两种形式，在解决平面向量问题中，学生能综合运用向量的几何形式和代数形式思考问题，不仅能增强分析问题、解决问题的能力，而且对提高数学素养有重要作用.

相比较而言，学生对于向量的坐标表示更容易接受和理解，但对向量的几何表示包括几何运算往往感到比较困难，然而从平面向量的几何意义来看，其中又有很多独特之处，如能合理地运用向量的加法、减法的平行四边形法则或三角形法则以及向量平行与垂直的充要条件，结合平面向量的基本定理等这些几何意义，那么在解决平面向量计算问题时往往能收到事半功倍的效果.现举几例，予以说明.

例1（2013年山东高考理科15）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为.

思路1利用向量的“几何形式”，将向量几何转化.利用向量的线性运算及数量积运算.

解法1向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，

所以AB·AC=AB·ACcos120°=-12×3×2=-3.

由AP⊥BC，得AP·BC=0，

即AP·BC=（λAB+AC）·（AC-AB）=0，

所以AC2-λAB2+（λ-1）AB·AC=0，

即4-9λ-3（λ-1）=0，解得λ=712.

思路2利用向量的“代数形式”，将向量坐标转化.建立平面直角坐标系，确定各关键点的坐标，利用向量坐标运算求得数量积AP·BC，进而解出λ.

解法2以点A为原点，直线AB为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（-1，3）.又设 P （x，y），所以AB=（3，0），AC=（-1，3），BC=（-4，3）.

因为AP=λAB+AC，所以AP=λ（3，0）+（-1，3）=（-1+3λ，3）

由AP⊥BC，得AP·BC=0，即AP·BC=（-1+3λ，3）·（-4，3）=-4（-1+3λ）+3=0，解得λ=712.

例2（2013年天津高考理科12）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若AC·BE=1，则AB的长为.

思路1利用向量的“几何形式”，将向量几何转化.根据向量的加法及平面向量的基本定理由AD，AB表示AC，BE，再由AC·BE=1求AB的长.

解法1因为AC=AB+AD，BE=BA+AD+DE=-AB+AD+12AB=AD-12AB，

所以AC·BE=（AB+AD）·（AD-12AB）=AD2+12AD·AB-12AB2

=1+12×1×ABcos60°-12AB2=1.

所以14AB-12AB2=0，解得AB=12.

思路2利用向量的“代数形式”，将向量坐标转化.建立平面直角坐标系，确定各关键点的坐标，将向量AC，BE用坐标表示，并利用向量坐标运算求得数量积AC·BE，进而解出x，最后求AB的长.

解法2以点A为原点，直线AB为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），D12，32.又设 B（x，0），则Cx，32，E12+x2，32，所以AC=12+x，32，BE=12-x2，32.

由AC·BE=1，得12+x，3212-x2，32=1，所以x=12或x=0（舍），即AB=12.

在这里我们不去探究几何形式和代数形式在解题中哪个更简单，因为简单是相对的，它依赖于我们所拥有的知识背景和问题的情况.平面向量中与数值有关的计算问题，往往是通过向量与向量之间的特殊的位置关系，通过转化、结合平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算、平面向量的数量积运算而形成求解思路，若能充分利用向量双重身份作为联系几何和代数的纽带，数与形结合，就能从容解决与平面向量有关的问题.

【参考文献】

＼[1＼]邢维金，陈熙.巧用向量的拆分与组合求向量的数量积＼[J＼].中学数学研究，2013（12）.

＼[2＼]龚青.例谈用向量法解决立几中的探索性问题＼[J＼].中学数学研究，2013（11）.

＼[3＼]普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修4）·北京：北京师范大学出版社，2008.