线性代数向量组正交化的教学改革

石新华

【摘要】多年来，线性代数课程中的向量组正交化的传统方法，即施密特正交化过程.本文将使用齐次线性方程组求非零解的方法，将向量组正交化，产生一种新的构思.

【关键词】向量组正交化；施密特正交化过程；齐次线性方程组；非零解

一、引言

近年来，大学一年级第二学期的线性代数课程使用教材是同济大学数学系编第五版.其中第五章相似矩阵与二次型中一个重要的内容是向量组的正交化.多年来很多教材都是沿用施密特正交化过程方法.5-1向量的内积、长度及正交性中，使用向量的内积的概念定义了两个向量正交的概念，即当＼[x，y＼]=0时，称向量x与y正交.所谓正交向量组是指一组两两正交的非零向量.

在线性代数应用问题中，向量组的正交性具有重要意义.

设给定一个线性无关的向量组A： α1，α2，…，αm，则一定存在另一个向量组B： β1，β2，…，βm.满足：（1）向量组B是正交向量组；（2）向量组A和向量组B等价.

设a1，a2，…，ar是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基.这也就是要找一组两两正交的单位向量e1，e2，…，er使得与之等价.这样一个问题，称为把这个基规范正交化.

这个问题是线性代数课程知识结构和教学中的重要内容.一般教材的核心思想就是施密特（Schimidt）正交化过程.