压缩映射原理及其应用

王佳欢

摘要：压缩映射原理对泛函分析理论的发展起着重要的作用，本文介绍了压缩映像原理的证明，并在此基础上阐释了该原理在解决数列收敛、隐函数存在、微分方程解的唯一存在性三方面的应用。

关键词：压缩映射 度量空间 收敛 存在性 唯一性

引言

压缩映射原理就是解决某类映射不动点的存在性和唯一性的问题，这些不动点可以由迭代序列求出。我们首先会介绍压缩映射原理（亦被称为Banach），在此基础上，会进一步介绍利用压缩映射原理求解数学分析中数列的收敛性、隐函数存在性、微分方程解的存在唯一性的问题。

1. 定义

1.1.压缩映射

1.1.1.

设T是度量空间X到X中的映射，如果对任意的 ，都有

（0< <1是常数），则T是X上的压缩映射。

1.1.2.几何意义

压缩映射即点x和点y经过映射T后，它们像的距离缩短了。

1.2.不动点

设T是度量空间X到X中的映射，如果有 ，使得

则称 为映射的一个不动点。

2. Banach压缩映射原理

设 是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映射，则T有唯一的不动点，即存在唯一的 ，使得 .

证明：（思路：利用迭代序列，先证其为Cauchy点列即任意的 >0，存在正整数N=N（ ），当n，m>N时有

，

再证x是不动点即 ，最后证明该点的唯一性即设 有 使得 ）

任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1

先考虑相邻两点的距离

再考虑任意两点间的距离n>m

0< <1

是Cauchy点列

X是完备度量空间

，使得

x是不动点

若还有 ，使得 则

0< <1

不动点存在且唯一

3. 压缩映像原理的应用

3.1.数列收敛性

3.1.1.定理

设 是 上的一个压缩系数为k（0

证明：（利用压缩映像的定义）

， n，

（ ， ）

取

， n，

数列 收敛

3.1.2.例题

3.1.2.1.

设 ， ，n=1，2，…证明数列 收敛。

证明：

显然 ，

是压缩映像

由压缩映像原理知 收敛

3.1.2.2.

设 ， ，n=1，2，…证明数列 收敛.

证明：

是压缩映像

由压缩映像原理知 收敛

3.2.隐函数存在定理

设 在带状区域 上处处连续，处处有关于y的偏导数 ，且如果存在常数m，M，适合 ，则方程 =0在闭区间 上有唯一的连续函数 ，使得

证明：（思路：空间 映射 压缩 定理）

在 中考虑映射 ，对任意 ，由连续函数的运算性质有

T是 到 的一个映射

任取 ， ，由微分中值定理，存在0< <1，使得 ，令

则0< <1，

，0< <1

映照T是压缩的

由Banach压缩映射原理， 上有唯一的不动点 使得

显然这个不动点 适合

3.3.微分方程解的存在唯一性定理

设 在矩形 连续，设 ， ，又 在R上关于x满足Lipschitz条件（即存在常数k，使得对任意的 ， 有 ）， 在区间 （ ）上有唯一的满足初始条件 的连续函数解.

证明：（思路同隐函数存在定理）

设 表示在区间 上的连续函数全体，

对 成完备度量空间。又令 表示 中满足条件 （ ）的连续函数的全体组成的子空间。

闭 是完备度量空间

令映射

，如果 ，当 时， ，而 是R上二元连续函数

积分在映射中有意义

又 对一切

T是 到 的一个映射

由Lipschitz条件，对 中的任意两点x（t），v（t）有

令 ，则由 ，有0< <1

T是压缩的

由Banach压缩映像定理，T在 中由唯一的不动点（即 ，使得 即 且 ）

即x（t）是满足初值条件的连续解

假设 也是 满足初值条件的连续解，则 ，

T的不动点是唯一的

有唯一解

参考文献：

[1]夏道行，严绍宗，吴卓人，舒五昌：实变函数论与泛函分析[M]（下），1985；

[2]郑维行，王声望：实变函数与泛函分析概要[M]（第二册），1980；

[3]关肇直，张恭庆，冯德兴：线性泛函入门[M]，1979；

[4]叶怀安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984。