设计开放性复习情境 培养学生的数学意识

徐成灯

设计“一题多式”的开放性复习情境，让学生在富有思考性、探索性、挑战性的学习中，知识得到系统化，思维得到锤炼，能力得到培养，能有效地培养学生的数学意识. 本文结合笔者的教学实践谈谈，在开放性的问题情境中，如何培养学生的数学意识.

一、设计一题多问，培养问题意识

2011年版课标在课程目标的总目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力. 因此，对于一道习题，让学生从多角度、多方面提出问题，不仅能“练一题，带一串”，沟通数学知识之间的联系，更可贵的是从中培养学生的问题意识.

比如，进行苏教版四年级下册（下文的复习例子均是）“因数与倍数”知识复习时，我出示：在1～20中，素数有 ，合数有 ，奇数有 ，偶数有 . 待学生完成后，我趁机提出：观察这四组数，你能提出哪些数学问题？学生经过观察分析提出：非0自然数按因数的个数分为什么？按是不是2的倍数又分为什么？1为什么既不是素数又不是合数？既是素数又是偶数是什么数？20以内既是奇数又是合数是什么数？最小合数是什么数？最小素数是什么数？素数都是奇数吗？请举例说明，等等. 这样，在复习素数、合数、奇数、偶数的基础上，通过这一问不仅让学生加深对这四个概念的区别，又从中培养了学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

二、设计一题多解，提炼解题方法

设计一题多解的问题，让学生从不同角度思考，用多种思路或方法去解答，再引导学生比较各种解法，从中提炼解题方法，从而有效沟通数学知识之间的联系，凸显知识的综合运用.

如，在复习利用画图策略解决问题时，笔者有意识地设计这样一道题：一个长方形操场，长80米，宽60米，现因操场扩建，长和宽都增加了20米. 操场面积增加了多少平方米？

复习时，我完全放手让学生根据题意画好示意图，再根据示意图多角度思考，从而得到以下示意图以及相应的解法：

解法一：常规解法，根据扩建后的面积减去原来的面积等于增加的面积进行思考，分为三步走：先求出原来长方形操场的面积是80 × 60 = 4800（平方米），再求出扩建后操场的面积是（80 + 20） × （60 + 20） = 8000（平方米），最后求增加部分的面积是8000 - 4800 = 3200（平方米）. （见图一）

解法二：转化解法，因为扩建后增加部分操场的面积是不规则的，从把不规则图形转化为规则图形的角度思考，可以把增加部分操场的面积沿长方向分成A，B两个长方形，分为三步走：先求出A块长方形操场的面积是（80 + 20） × 20 = 2000（平方米），再求出B块长方形操场的面积是60 × 20 = 1200（平方米），最后求出增加部分操场的面积是2000 + 1200 = 3200（平方米）. （见图二）

解法三：转化解法，根据解法二的思考路径，把增加部分操场的面积沿宽方向分为A，B两块长方形，先求出A块长方形操场的面积是80 × 20 = 1600（平方米），再求出B块长方形操场的面积是（60+20） × 20 = 1600（平方米），最后求增加部分操場的面积是1600+1600 = 3200（平方米）. （见图三）

解法四：还是根据解法二的思考路径，把增加部分长方形操场的面积分为A，B，C三块，A块长方形操场的面积是80 × 20 = 1600（平方米），B块长方形操场的面积是20 × 20 = 400（平方米），C块长方形操场的面积是60 × 20 = 1200（平方米），增加部分操场的面积是1600 + 400 + 1200 = 3200（平方米）. （见图四）

解法五：根据长与宽都增加20米，把A、B、C三块拼成一个大长方形，增加部分操场的面积是（80 + 20 + 60） × 20 = 3200（平方米）. （见图五）

教师对学生的五种解法充分肯定后，引导学生对此进行分析、比较. 在比较中发现：方法一是根据大面积减小面积进行计算；方法二、三、四是把不规则图形分割成两个或三个基本图形，再相加求面积；方法五是将不规则图形先分割再拼成规则图形，再求面积. 不管是割、拼，都是将不规则图形转化为规则图形，然后再进行计算.

许多教师在教学中，仅仅满足于让学生把各种不同的方法展示出来，就认为教学目标达到了，殊不知这样的结果“星星还是那个星星，月亮还是那个月亮”，学生根本就没有顾及或接纳别人的方法，更谈不上从中抽象出基本的数学方法了. 只有展示没有提炼的教学只是同一思维层面上不同解法的交流，对于提升学生的思维能力没有多大价值. 案例中的教师，不仅仅满足于让学生把各种不同的方法展示出来，而是抓住时机，引领学生进行观察、分析，寻找解法之间的联系，这样有效地促进了学生由表及里地思考，提高了学生的解题能力和数学素养.

三、设计一题多变，理清来龙去脉

对于同一道习题，不断改变它的条件或问题，使学生看清题目之间的联系，掌握题目的来龙去脉，对提高复习效率有明显的效果.

如，在复习解决三步问题时，笔者以学生易错的一道题“铺一间教室，用边长4分米的方砖，需要300块，如改用面积25平方分米的方砖，需要多少块？”为原题，在师生交流中生成以下姐妹题：

1. 铺一间教室，用面积16平方分米的方砖，需要300块；如改用面积25平方分米的方砖，需要多少块？

2. 铺一间教室，用面积16平方分米的方砖，需要300块；如改用边长5分米的方砖，需要多少块？

3. 铺一间教室，用边长4分米的方砖，需要300块；如改用边长5分米的方砖，需要多少块？

4. 铺一间教室，用边长4分米的方砖，需要300块；如只需160块方砖，需要面积多大的方砖？

这样通过不断改变原题的条件、问题，让学生在比较、辨别异同中，理清问题的来龙去脉，逐步完善认知结构，进一步加深学生对知识的理解，提高复习效率.

四、设计一题多“能”，盘活思维广度

教师在设计复习题时，有意去掉题中的某个关键词，使它变成一道含有多种可能的开放性问题. 引领学生深入思考、全面分析，盘活思维广度，提高复习效能.

如，笔者在复习用画图策略解决行程问题时，有意识设计了这样一道题：在一条公路上，客车和货车同时从相距80千米的两地开出. 客车每小时行驶42千米，货车每小时行驶48千米，开出多长时间两车相距100千米？（请考虑各种情况，画图只列式不计算）

由于题中两车所在的方向不明确，故本题就可以引导学生仔细分析，全盘思考，分多种情况一一考虑：

1. 客、货两车相向而行，相遇后又继续行驶，至两车相距100千米. （图略）这样考虑求两车开出需要的时间，列式：（100 + 80） ÷ （42 + 48）.

2. 客、货两车相背而行，即按相反方向行驶，至两车相距100千米. （图略）这样考虑求两车开出需要的时间，列式：（100 - 80） ÷ （42 + 48）.

3. 客、货两车同向而行，又分两种情况：

（1）货车追客车（图略）. 根据两车已经相距80千米，如果两车要相距100千米，那货车应比客车多行驶100 + 80 = 180（千米），求两车开出需要的时间，列式：（100 + 80） ÷ （48 - 42）.

（2）客车追货车（图略）. 因为客车的速度比货车慢，只要货车比客车多行驶100 - 80 = 20（千米）时，两车就相距100千米，所以求两车开出需要的时间，列式：（100 - 80） ÷ （48 - 42）.

去掉两车行驶方向这一条件，一道封闭题就变成了一道开放题，并囊括了行程问题的三种方向问题. 学生在解题过程中不仅要考虑两车的方向，还要考虑每种方向的解答情况，既培养了学生的有序思维，又盘活思维广度.

五、设计一题多“联”，渗透数学思想

比如，复习三步应用题时，为了让学生由表及里地理解“剩下的部分=总数-用去的部分”这个数量关系，我先出示这道题：一堆煤重300千克，每天用去15千克，用了8天，剩下的煤每天用20千克，还能用多少天？待学生完成反馈之后，我顺势提问：看到“剩下的煤”你想到什么数量关系？根据这一数量关系，你能变换情节，編制出相应的应用题吗？同桌互相讨论. 反馈时，展示学生编拟的问题，有的学生将情节换成看一本书；有的学生将情节换成修一条水沟；有的学生将情节换成吃一袋米；还有的学生将情节变换成两个量的比较：师徒两人完成300个零件，徒弟每天完成15个，工作了8天，剩下的零件由师傅完成，师傅每天完成20个，还要多少天？等等. 这样的复习，改变了就题练题的单调性. 由一题“联”多题，激发了学生的兴趣，在编题时充分开放学生的思维，有利于培养学生思维的开阔性；在展示、对比中有利于学生感悟不管情节怎样变化，题中的数量关系始终不变，渗透变中寻不变的思想，培养学生透过现象看本质的能力.

总之，在复习过程中，教师应精选习题，活用习题，充分发挥“一题多式”的多种训练功能，从而切实有效提高复习课的教学效率，培养学生的数学意识.