将渗透数学思想进行到底

余艳红

数学思想是数学的灵魂. 2011年版《数学课程标准》指出：要结合学习数学的教学内容，有目的、有计划渗透数学思想方法. 这样，既能使学生更好地理解和掌握教学内容，更能使学生感悟数学思想方法，初步理解教学内容的精神实质，感受数学科学的精髓，帮助学生用数学的眼光看待世界，初步学会思维，发展数学素养. 本文以苏教版五年级下册“圆的面积”一课教学为例，谈谈如何基于数学思想的教学.

一、目标中明晰数学思想

小学数学教材体系有两条基本线索：一条是明线索，就是清清楚楚地写在书上的数学知识；另一条是暗线索，就是蕴含在教材中的数学思想方法. 因此，就需要教师在钻研教材时把数学思想方法从隐含教材背后中挖掘出来，以便在教学目标中明确每个数学知识所要渗透的数学思想方法. 这样让数学思想方法在教学目标中明确，渗透才有方向. 如，“圆的面积”一课，在教学目标的定位时，笔者就要考虑转化、极限思想的渗透，就要明确在引导学生经历把圆转化成已学过的平面图形的过程自然无痕渗透转化、极限思想方法. 目标是教学的灵魂，教学的方向，心有明晰的数学思想的目标，才能在预设中凸显，过程中落实.

二、设计中凸显数学思想

教学目标中明晰了数学思想方法，进一步就要在教学设计时确立数学知识与数学思想方法的对接点，把渗透数学思想方法凸显在教学设计的每一个环节. 如，“圆的面积”预案中，笔者在教学过程的每个环节中凸显数学思想方法：（一）回忆，唤醒转化思想. 让学生回忆已学过平面图形面积公式的推导过程，唤起学生对探究平面图形方法的回忆与再认识，启发学生对转化思想的思考与运用. （二）探究，体验转化思想. 引导学生合作交流，探究圆的面积公式推导的一般方法，经历其转化过程. （三）演示，感受极限思想. 利用多媒体课件的演示，让学生感受极限思想. （四）反思，梳理数学思想. 在反思环节，除了回忆我们学了什么知识，还让学生说说是如何获得这些知识的，什么思想起了很大的作用.

三、过程中孕育数学思想

2011年版《数学课程标准》确定了两类目标：一类是结果性目标，指向是基础知识与基本技能；另一类是过程性目标，指向是数学基本思想和基本活动经验. 因为数学思想方法是属于过程性目标，只有在教学过程中渗透、孕育. 因此，在引导学生经历圆面积推导的过程中，就要通过观察、猜想、实验、分析、综合、抽象、概括等活动让学生体验到知识背后负载的方法、蕴含的思想. 如，“圆的面积”中例8的教学是探究圆的面积推导过程，是孕育转化、极限数学思想的重要环节，也是本节课教学的重点和难点，在此，教师一定要舍得花时间，让学生经历圆的面积的推导过程.

（一）回忆，唤醒转化思想

师：同学们，我们以前研究一个新图形的面积时都用过哪些方法？比如，研究平行四边形.

生：把平行四边形沿高剪开，平移转化成长方形.

师：这里我们利用了什么方法，把新的知识变成旧的知识进行研究？

生：转化的方法.

师：看来，转化是一种非常好的研究问题的方法. （师板书：转化）今天，我们要研究圆的面积的计算方法，应该怎么办？

生：也可以应用转化的方法把圆转化成已学过的图形进行研究.

师：你的想法非常有道理，就按你的想法来研究.

（二）探究，体验转化思想

1. 引导学生同桌合作，依次将圆形纸片平均分成2份、4份、8份、16份，并拼成一个近似的平行四边形.

2. 引导学生想象：如果把圆平均分成32份，拼成的图形会有怎样的变化？在学生充分交流的基础上，通过多媒体演示验证学生的想象.

3. 再次引导学生想象：如果把圆平均分成64份、128份拼成的图形会有怎样的变化？使抽象难懂的极限思想生动地外化为一个“无限趋近”的过程. 学生经历多次操作、多次想像、多次验证，感受了转化和极限思想方法，印象深刻.

（三）观察，寻找两图关系

师：观察圆转化成长方形的示意图，你发现了什么？

生：两个图形的面积相等，长方形的宽是圆的半径，长方形的长是圆周长的一半.

师：你真善于观察.

师：谁再来完整地说一遍？

（四）归纳，领会推导过程

1. 教师引导学生说：把圆沿半径剪开拼成一个近似的长方形，长方形的长是圆周长的一半，用字母πr表示，长方形的宽是圆的半径，用字母r表示. 因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径，用字母表示S = πr × r = πr2.

2. 学生试说：结合演示，请几名学生说一说推导过程.

3. 同桌互说：针对各自拼成的图形互说推导过程.

4. 默想过程：闭起眼睛回想圆的面积的推导过程.

四、练习中内化数学思想

练习是巩固知识、形成技能的重要环节，也是数学思想方法的获得过程和应用过程. 数学思想方法在例题的教学中是属于渗透、孕育阶段，在练习中则进入了明晰的阶段. 这是一个从模糊到清晰的飞跃. 而这样的飞跃，则要依靠系统的练习来实现. 因此，教师要根据实际的教学内容，科学设计练习，彰显数学思想.

（一）专项练习

把圆沿半径剪开拼成一个近似的（ ） ，长方形的长是（ ），用字母（ ）表示，长方形的宽是（ ），用字母（ ）表示. 因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = （ ），用字母表示S = （ ） = πr2.

（二）联想练习

1. 看到这些图形的条件你能联想到圆的什么？

2. 看到下列圖形的条件你联想到圆的什么？可以求出圆的什么？

比如，要引导学生说，看到长方形的长15.7 cm，我联想到这15.7 cm就是圆周长的一半，即πr = 15.7，可以求出r = 15.7 ÷ 3.14 = 5，进而求出圆的面积；或看到长方形的宽5 cm，想到圆的半径就是5 cm，可以求圆的直径、周长、面积.

通过回忆圆面积的推导过程，看图形逆向联想圆的什么的多层练习，有意识地把数学思想渗透在练习中，既突出重点又突破难点，强化了学生对圆的面积推导过程的认识，又内化了数学思想，真可谓一箭双雕. 所以，教师对习题的设计也应该从数学思想方法的角度加以考虑，尽量多设计一些能使不同学习水平的学生都能解答的习题.

五、拓展中深化数学思想

根据知识的重点、难点设计蕴含数学思想的拓展性练习，进一步体验、深化数学思想方法.

（一）选一选

图中圆的半径为r，长方形的长为πr，甲、乙两块阴影部分的面积相比较. （ ）说一说你选择的理由.

A. 甲的面积大

B. 乙的面積大

C. 一样大

D. 无法比较

（二）解一解

1. 把一个圆形纸片剪拼成一个近似的长方形，长方形的长等于12.56 cm，这个圆形纸片的面积是多少平方厘米？

2. 把一个圆形纸片剪拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的高等于6 cm，这个圆形纸片的面积是多少平方厘米？

3. 图中圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长是62.8 cm，长方形的宽是多少厘米？

六、反思中提升数学思想

课尾反思梳理是提升数学思想不可忽视的环节. 数学思想随着学生对数学知识的深入理解，表现出一定的递进性. 在课尾的小结，适时对数学思想方法进行概括和强化，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质. 如，“圆的面积”课尾反思梳理环节，除了引导学生回忆，这节课我们学习了什么知识，更重要的是要引导学生反思：这节课我们是如何推导出圆的面积公式的？及时帮助学生回忆圆的面积的推导过程，再一次使学生能清楚地意识到：转化是解决问题的有效方法. 同时，把问题向课后延伸：同学们，课堂上由于时间关系我们仅探究了把圆转化成长方形或平行四边形来推导圆的面积，其实还可以把圆转化成三角形、梯形，请同学们利用手中的圆形图片课后继续研究.

总之，基于数学思想的教学，这是2011年版课标倡导的理念. 为了有效地落实这一理念，在数学教学中就要有意识地渗透数学思想，让我们的课堂教学拥有思想的脊梁，真正实现数学思想是数学教学的灵魂. 当然，在渗透数学思想的过程中，还要注意渗透的系统性和反复性.