归纳基本事实，重视符号表达

马公仕

【基金项目】 本文为江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题“‘自学·议论·引导教学生态中的学生发展质态研究”（课题编号为E-a/2013/001）阶段性成果之一，课题主持人为李庾南、王笑君.

最近笔者在一次市际（南通市与宿迁市）学校共同体教学研讨活动中执教七年级“垂直”新授课，课例得到与会同行的好评.本文先呈现教学流程的简案，再给出精彩生成片段，最后阐释几点教后反思，与更多老师研讨.

一、教学简案

（一）教学目标

1. 引导学生从学生的生活经验中抽象概括出垂直的定义及其符号表达，培养学生的符号意识.

2. 在动手操作中感悟垂线的唯一性质，渗透分类思想和转化思想.

3. 理解垂线定义的双重作用.建构“点到直线的距离”概念，学习步步有据的说理方法.

（二）教学过程

活动1：引导学生动手实践，画相交二直线，对所成角进行分类研究，建构垂直的定义.

1. 引导学生动手操作，如图2，画相交二直线a，b，交点为点O.

2. 小组交流，所画相交两直线所成角的大小情况.

3.全班交流：分析交角的特殊值为90°，揭示课题——垂直.

4. 观察图2中的两直线位置特征：

① 抽象概括垂直定义：如果两直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足；

② 分析定义中的题设和结论，并用符号表示定义；

③ 研究定义的双重作用.

活动2：根据定义，利用工具（三角尺、量角器）过一点画已知直线的垂线，并揭示垂线的“唯一”性质.

1.全班同学听句画图，过点P画直线l的垂线CD，垂足为点O.

2. 在同学自己画的基础上，请画得不完整的同学板演，供纠错分析.

3. 全班分析，如何理解“过一点”，自行纠正画图不足，强调根据“点与直线的位置关系”，分类解题的思想方法.

4. 进一步实践操作，得出垂线的“唯一”性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

活动3：建构垂线的第二条性质“垂线段最短”.

1. 垂线段、斜线段的概念.

2. 垂线的第二条性质：垂线段最短.

3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.

活动4：练、议，深化概念.

例题：如图3，已知CD平分∠EDF，CD⊥AB，垂足为D，∠1 = ∠2吗？为什么？

变式：如图3，点A，D，B在同一直线上，已知CD平分∠EDF，∠1 = ∠2，CD⊥AB吗？为什么？

（三）课堂小结

1. 几何图形特殊的位置关系及其对应特殊的数量关系.

2. 定义的双重作用.

二、精彩生成

（一）开课阶段

师：两条直线相交会形成四个角，按照形成的四个角的大小来分类，你们说应该有几类？

生1：有可能锐角，有了锐角就有钝角，邻补角互补.

生2：也可能是直角.

师：有一个角是直角，四个角都是直角吗？为什么？

生2：对顶角相等，邻补角互补.

师：所以两条直线相交，只要有一个是直角，肯定四个角都是直角.两条直线相交成直角这种特殊的位置关系称之为垂直.今天我们就一起来研究垂直这个课题.

（板书——垂直）

师：那么，什么叫作垂直呢？大家看看，这样的图形，就叫作两条直线互相垂直，它们具备了什么条件？想想看，小组议论一下.

……

（二）垂直的符号表达

师：我们在学习平行线的时候，用什么符号来表示平行的？

生众：比画.

师：很像平行的样子.数学当中好多图形都是用象形的符号来表示.好，你们认为垂直用什么象形符号来表示比较好？哦，你上来写写看？写在这个位置.

生3到黑板上写出“⊥”.

师：很好，这就是垂直的符号.现在有了垂直的符号，如何对照图形把定义表示出来呢？哦，你说说看.（生4说，师板演）

生4：∵ AB、CD相交于点O，且∠BOC = 90°，∴AB⊥CD，垂足为点O.

（三）画图体验“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”

师：都会画了吧？用这样的方法在这两个图形上过点P再画已知直线l的垂线. 你上来，用三角板再画.

生5：（比画半天）老师还是这条.

师：再画！

生5：（继续比画，有点着急）还是这条！

师：底下同学是不是这样，画的还是这条？

生众：是！

师：哦，不仅你们几十名同学画的是这样的，人们在长期的实践当中都发现了这个事实，说说看，什么事实？对照图形把这个事实总结总结.

生6：在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

师：正确，这就是垂线的性质.这名同学再说一遍.

生7：在同一平面內过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

（四）垂线段最短

师：假设这是同学们上体育课跳远的起跳板，如果同学你的脚后跟落在P点，体育老师给你量跳远成绩怎么量的？

生8：是量的脚印与起跳板的垂线段的长.

师：为什么？

生9：最短，其他的都长.

师：很好！这就是垂线的第二条性质.这条性质就是直线外一点所有斜线段长度都大于垂线段，简称“垂线段最短”.事实上，人们还规定了点到直线的距离，就是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.我们谈点到直线的距离，就是垂线段的长度.

三、教后反思

1. 从“数学问题”出发，引导学生发现和概括概念

张奠宙教授评析李庾南老师教学流派的特点时，曾评述：“李老师首先注意用数学问题驱动，激发学生的主体探索性思维.”上面的垂直课例，无论在开课阶段的情境引入，还是性质探索与概括活动中，我们都是舍弃了教材上的生活情境，而是选定安排学生画图这样的“数学问题”来引导学生发现和概括概念.从课堂效果来看，学生对这样的画图参与热情也很高，因为既有小学里的画图经验，又有开放的作图要求，大家都能画，画出来都能交流，而且能自主发现和概括新知，追求了“返璞归真”的教学生态.

2. 从“基本事实”出发，引导学生积累和应用性质

垂直的两个性质是由“基本事實”引出的，属于公理级别.七年级教学时是简单告知还是安排恰当的实验活动，通过验证引导学生感受其合理性是新课教学时需要面对的一个重要课题.从上面的教学决策来看，我们选择了后者，即在不同环节，都安排学生画图，变换不同可能画图，然后让学生小组议论、全班交流，发现“基本事实”，从而一起归纳垂线性质.特别是，我们并没有过分纠缠在基本事实的验证和探索上，而是在大多数学生能感受、认可的基础上，引导学生归纳、应用该性质.

3. 从“符号表达”出发，引导学生表达和演绎推理

七年级几何教学源于学生在小学阶段积累的很多几何直观的经验，即学生在七年级学习几何时并不是“一张白纸”.但是如何借用小学图形学习的经验，又要引导他们尽快走进初中几何的学习之路呢？这也是值得广大一线教师认真思考的课题.从上面的课例来看，我们在七年级几何起始教学阶段，重视了几何语言，即符号表达的规范和训练.当垂直这样新的概念出现后，师生一起写出规范的符号表达，在垂直的性质概括之后，引导学生从图形、符号对应的角度反复表达，并选择并不太难的两个例题训练.事实上，这两个例题放在小学中，学生也能作出来，但是在本课中，教师重要的是要通过这两个例题引导学生运用恰当而规范的符号表达，渗透演绎推理.值得一说的是，虽然现行教材在这个阶段并不要求学生严格的演绎推理和形式化的符号表达，但是教学实践告诉我们，学生并不可能后来一蹴而就地学会规范的演绎推理，恰恰需要七年级刚进入几何学习时就规范训练、不断渗透、螺旋上升，最后才能真正帮助学生尽快学会这种形式化的推理表达.

致谢：本课从备课、试教、评课、反思成文全过程都得到师傅、全国著名特级教师李庾南老师的悉心指导，谨致谢意！

【参考文献】

[1]李庾南.自学议论引导教学论[M] .北京：人民教育出版社，2013（7）.

[2]章建跃.课堂教学要注重数学的整体性[J].中小学数学（高中版），2013（5）.

[3]李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的[M].北京：人民教育出版社，2007（10）.

[4]李邦河.数的概念的发展[J].数学通报，2009，48（8）.

[5]马立平，著.李士锜，吴颖康，等译.小学数学的掌握和教学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.