“偏微分方程数值解法”实验设计

李明霞等

【摘要】“偏微分方程数值解法”是计算数学基础课，它的发展离不开计算机，因此需要紧密结合程序来完成对算法的实现.本文针对不同类型的方程精心挑选了数值算例，首先通过课堂演示来加深对理论知识的印象，并提高学生兴趣；其次布置数值实验操作促进学生真正了解不同数值格式；最后引进一个建模实例，为其知识未来的应用打好基础.

【关键词】有限差分方法；有限元方法；收敛速度

“偏微分方程数值解”是一门计算数学方向的公共选修课.本课程的内容主要分为两部分，即有限差分方法与有限元方法.有限差分方法虽然古老，但在近代才获得飞速发展.有限元方法始于20世纪40年代，但是分化出不同的方向是近几十年的事情.这两种方法之所以能够在近代获得重要的应用，源于计算机对算法的高效实现.例如在天气预报中，由于涉及许多未知量，更跨越较长的时间域，最终要求解的方程组不仅规模大，并且要求必须计算速度足够快，才能够准确并及时地预报天气.没有计算机以及优化的算法，这是不可能实现的.因此离开程序设计讲授这门课，无异于旱地学游泳.

针对学习内容设计适当的程序，不仅能够巩固基础理论知识，还能够使学生了解到如何利用学科知识解决实际问题，有利于提高学生学习的兴趣，促使之将所学知识直接用于自己的研究领域.下面主要从理论验证和学科具体应用两个不同的侧重点来设计实验的内容.

第一部分主要针对有限差分方法，对三种不同类型的方程，即双曲型、抛物型以及椭圆型方程整理课堂演示所需数值实验，布置数值实验作业，以巩固学习效果.所依据的教材为清华大学出版社《偏微分方程数值解》（第二版，陆金甫、关治[2]），以及科学出版社《偏微分方程数值解法》（第二版，孙志忠[3]），部分代码参考《MATLAB语言常用算法程序集》[1].

第二部分主要为联系具体学科所涉及的偏微分方程求解问题进行计算.由于时间以及本人知识有限，仅选取了一个与水资源环境相关的实例[4].

一、理论验证

线性代数方程组采用传统的求解三对角方程组的追赶法，最终将解随时间的变化曲线画出来，可以分析出滨海水位与海潮一样具有相同周期，但时间上滞后，其水位变化幅度与海岸线的距离具有衰减性，越远水位变化幅度越小.

这个具有实际应用背景的数值算例的引入，向学生展示了将实际问题概化为模型问题，求数值解，并将所求数值解结合原问题进行解释的过程，为学生提供了利用学科知识解决具体问题的范例.