高校本科生有限元方法课程的教改探讨

郭利明　周新建　张庆敏

摘要：目前，有限元方法已经广泛应用于各类科学和工程计算。本文探讨了开设有限元方法课程的必要性，探索了该课程内容安排，提出了多媒体为辅助的教学模式，建立了合理的评价体系。

关键词：有限元方法；教学改革；本科生

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）05-0118-02

引言

自然科学和工程技术中的各种基本规律通常是以微分方程的形式给出，一般情况下，要得到这些方程的解析解是不可能的，因此数值求解微分方程是非常必要的。有限元方法[1，2]是数值求解偏微分方程的一种有效的方法。有限元方法的雏形可以追溯到1943年，Courant首次提出了三角形上的分片线性函数逼近的思想。20世纪50年代初，工程师们提出了有限元方法，并利用该方法来求解简单的结构问题。20世纪60年代，以冯康先生[3]为代表的中国学者和西方学者独立并行地建立和完善了有限元方法的数学基础。自此之后，有限元方法成为应用数学、工程力学、流体力學、电磁学等不可或缺的工具。

有限元方法不同于求解偏微分方程的差分方法，其主要有下述三大特点：[4]（1）从数学物理问题的变分原理出发，而不是从方程出发；（2）若考虑的数学物理问题区域是二维的，需要作三角形剖分，而不是仅仅作矩形剖分；（3）用剖分区域上基函数来逼近原问题的解，而不是单纯地采用剖分节点的数值来逼近。有限元方法的这些特点，决定了学习有限元方法需要较多的基础知识，例如变分方法，泛函分析，索伯列夫空间的理论，[5]椭圆边值问题的现代理论等等。本科生对于有限元方法的基础知识掌握程度有限，因此在教学过程中，要结合本科学生的特点，更强调有限元方法的应用层面，在基本了解有限元方法原理的基础上，重视采用有限元方法来解决简单的数学物理问题。

一、开设有限元课程的必要性

目前，有限元课程的理论和实践的学习，主要应用于研究生教育。本科生开设有限元课程的相对较少，以工科学生对应用技术和软件操作的学习为主。但是，如果学生仅仅是对照工具书来操作软件的话，往往会因为不理解理论而带来各种各样的错误。因此，笔者认为对本科生开设有限元课程学习相关的理论和应用，是非常必要的。特别是对于希望进一步学习计算数学专业的学生，了解部分有限元课程的知识，对他们进入研究生乃至博士生阶段的学习都是很有帮助的。对于工科生来说，了解有限元知识，加深对软件操作的认识，会使其在广大应聘者中脱颖而出，得到用人单位的青睐。

二、教学内容的安排

由于本科生对于有限元基础知识的掌握程度有限，因此任课教师在讲授有限元课程的时候，要帮助他们了解一些简单的基础知识，在此基础上加强实践环节的培训。

（一）理论知识的学习

首先要复习泛函分析的内容，泛函分析课程对于本科生来说是难度比较大的课程，通过简单的复习，让他们对这些基本知识有较为熟悉的认识。在此基础上，讲解索伯列夫空间相关知识，对于本科生来说，只要求了解基本定理，不要求掌握定理的证明。

其次变分原理是本科生第一次接触到的东西，且其在有限元方法的学习中占着很重要的位置，是需要重点讲解的东西。对于变分原理的教学目标，要求本科生对于简单的数学物理问题：如泊松方程，四阶椭圆方程等，写出相应的变分形式。

最后，以简单的二维泊松方程和三角形单元为例，讲解有限元方法的离散。学习有限元方法的离散，首先要了解三角形单元上的基函数；其次，学习从单元上刚度矩阵到总体刚度矩阵的过渡，从而得到最后的线性方程组，求出该泊松问题的数值解。

（二）教学实践

大学生实践能力薄弱是目前普遍存在的问题。特别是一般的普通高校的学生，因为学校的硬件设施跟不上等问题，往往忽视了实践环节。在高校中，经常会碰到一些学生，虽然理论知识很扎实，但是动手实践能力比较差。而教师如果单纯地讲授理论知识的话，会让学生似懂非懂，对该课程的学习缺乏热情，久而久之，产生厌学的情绪。

上机实践是学习有限元方法的必要环节，通过上机实践，学生可以加深对于理论的理解。对于数学专业的学生来说，其对MATLAB软件有较为系统的学习。建议对于该专业的学生，教师可以带领学生学习MATLAB软件中自带的利用有限元方法求解偏微分方程的软件包：pdetool。但是pdetool有自身的局限性，有时候需要自己编写MATLAB程序来用有限元方法来求解。根据笔者的经验，让本科生自己编写有限元程序存在一定的难度。笔者的做法是：自己写一段简单的有限元程序，让学生来读程序，在一步步读程序的过程中，学生会对有限元方法有更加深刻的认识。

三、教学模式

1.教学时间和教材建设。有限元方法课程可放在泛函分析、数学物理方程之后。有限元方法课程现有的教材，对于本科生来说比较难，因此在教学的过程中，需要教师广泛搜集各种素材，根据自己的教学目标，相应地删除或者增加部分内容，对教材进行建设，使之更适合本科生。

2.教学方式。20世纪50年代，美国心理学家卡尔·罗杰斯提出了“以学生为中心”[6]的教育理念，对现代教学改革的实践具有很强的指导意义。学生是学习的主体，无论在任何教学活动中，都要把学生放在中心位置。教师应当尊重学生个体之间的差异和不同的需求，做到因材施教。有限元方法的课程学习的重要目的在于应用，因此该课程适合采用多媒体来辅助教学，多媒体教学方式不仅能把大量的信息更加直观形象地展示给学生，吸引学生的注意力，激发学习兴趣，还可以提高教学成果。

教学活动是双方面的活动，取决于教师主导性和学生的主动性。因此在发挥教师主导性的同时，要充分调动学生的主动性。兴趣是最好的老师，如果学生对学习有着浓厚的兴趣的话，往往是事半功倍。学习兴趣的缺失是当下教育，特别是大学教育最大的问题。作为大学教师，我们要尽可能地调动学生学习的兴趣，让学生热爱思考研究。具体到有限元方法课程的教学，可以让学生了解本门课程的发展历史，问题背景等。从历史背景的学习中，增强学生的民族自信心和自豪感。让学生把这门课程和其他相关的课程联系起来，比如说有限元课程的学习会牵涉到泛函分析和数学物理方程。以前学习数学物理方程重视的是解析解，但是对于那些解析解不容易找到的方程，可以告诉学生采用有限元方法来数值求解。

在讲授了部分章节之后，可以引导学生以讨论班的方式进行学习。对学生进行分组，每一小组负责一部分的内容。上课的时候让学生讲，任课教师在下面听，通过学生的讲解，教师可以知道学生对于知识的掌握程度和薄弱环节，做到有的放矢的教学。在学生的讲解过程中也锻炼了学生授课的能力。

四、评价体系的改革

传统的评价学生的方式是静态的，采用统一的试卷来决定一个学生的学习情况。但是有限元方法属于理论和实际相结合的学科，其内容涉及面较广。因此如果有限元方法的考核单纯采用笔试，闭卷考试的方式很难全面地评估一个学生的学习情况。为了更加全面地评价学生，笔者在授课过程中沿用综合评价的方式，具体为：（1）平时作业，课堂表现占20%；（2）期中考试占20%；（3）上机实验占20%；（4）期末考试成绩占40%。目前，部分高校没有开展全校性的期中考试，笔者特意加上期中考试是为了了解学生的情况，让任课教师知道学生的长处和不足之处，从而来制定和改进已有的教学过程。对于上机实验部分，可以给学生一些简单有限元程序让其在课下认真的学习。上机实验的时候，调换成其他的数学物理方程，让学生写出相应的MATLAB程序，计算出该方程的数值解。

五、结束语

本文对本科生有限元方法课程的学习，分析了其必要性，对于教学内容做了部分调整，使其适合本科生现有的知识水平，采用多媒体教学方式，重视理论和实践相结合的教学方式，针对有限元方程的课程目标，制定了合理的评价体系。通过实际教学实验，笔者证明本文提出的教学改革是有效的。

参考文献：

[1]石钟慈，王鸣.有限元方法[M].北京：科学出版社，2010.

[2]曾攀.有限元分析及应用[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]王烈衡，许学军.有限元方法的数学基础[M].北京：科学出版社，2004.

[4]冯康.有限元方法[J].数学的实践与认识，1974，（4）：54-61.

[5]陈国旺.索伯列夫空间导论[M].北京：科学出版社，2013.

[6]李嘉曾.“以学生为中心”教育理念的理论意义与实践启示[J].中国大学教学，2008，（4）：54-56.