例谈勾股定理的应用要点

陈柏梓

【摘要】 勾股定理是初中数学的一个重要内容，它通过直角三角形的三边关系完美地揭示了几何与代数之间的联系，也反映出了几何问题用代数方式解决的学习方向. 同时，也为今后的学习打下了基础，特别是高中阶段的解析几何，就是利用计算的方式来研究和解决相关的几何问题.

【关键词】 初中数学；勾股定理；应用要点；方法技巧

勾股定理看似简单，就一个公式c2 = a2 + b2，很多学生在学习这个公式之后，认为自己对勾股定理已经有非常好的掌握了，但在做题中还是会出现这样或那样的错误，原因就是学生们对这个简单的公式放松了警惕，把勾股定理的运用当成一个非常简单的问题在处理，而有关勾股定理的运用还有很多的要点，学生们一定要掌握好每个细节，才能灵活运用好勾股定理解决问题. 下面我们来谈谈运用勾股定理时要注意的几个要点.

一、分清直角边和斜边

直角三角形的三边关系并不是任意的，在公式c2 = a2 + b2中，c所表示的是斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，也就是斜边的平方等于两条直角边的平方的和. 很多学生在解决问题时没有分清这三个字母的区别，在给图形标上字母的时候没有注意正确性和对应性，在实际问题中没有认真分析不同字母所表示的是哪条边，很容易就导致错误.

例1 在直角三角形中，∠A = 90°，a = 13 cm，b = 5 cm，求以c为边长的正方形的面积.

错解 根据c2 = a2 + b2得：c2 = 132 + 52 = 194.

所以，所求正方形的面積为194 cm2.

分析 导致这种错误是因为学生们在看到字母之后没有加以分析，而直接代入到公式中进行计算，忽略了实际问题中字母所表示的具体量. 公式中的字母c是代表斜边，但在本题中，由于条件∠A = 90°，直角所对的边a才是斜边，因此公式应为c2 = a2 - b2 = 132 - 52 = 144，所求正方形的面积为144 cm2.

二、明确勾股定理的适用条件

在一些三角形的三边问题中，要使用勾股定理进行解答，首先要确保该三角形是直角三角形. 其他任意三角形并不适用勾股定理，部分学生很容易忽视这一点. 不管是不是直角三角形，看到关于边的问题就乱用勾股定理，同样也是错误的.

例2 在一个边长为整数的△ABC中，AC = 4 cm，BC = 3 cm，且AB > AC，求第三条边AB的长.

错解 根据勾股定理可得：

分析 出现上面这种错误是因为学生们一看到关于三角形的边长问题就想到了勾股定理，而没有仔细分析这个三角形是否能利用勾股定理来解决，忽视了勾股定理的适用条件. 在这道题中，由于没有说明三角形是直角三角形，那我们只能根据一般三角形的三边关系来求出第三边，根据“两边之和大于第三边”得到，即4 < AB < 7，又因为AB的长度是一个整数，所以AB的值可以是5 cm或6 cm.

三、对不明确的三边关系要全面考虑

在一些直角三角形中，如果题目没有明确说明哪条边是斜边或哪个角是直角，那么就要仔细分析和全面考虑可能存在的情况，很多学生会忽略这一点.

例3 在一个直角三角形中，有两条边分别为3 cm和4 cm，那么这个三角形的周长是多少？

错解 设三角形的斜边为c，则c2 = a2 + b2 = 32 + 42，解得c = 5，所以三角形的周长：3 + 4 + 5 = 12（cm）.

四、对三角形的高的位置要做好分类

三角形的高可以在三角形内，也可以在三角形外，很多没有给出图形的一些题目，需要学生们自己画图，那就要注意不能只画特殊三角形，也要考虑到一些很普通的三角形. 我们都习惯画一些锐角三角形，比较少画钝角三角形，而三角形的高，我们也习惯把它画在三角形内，就因为这样，在解题中常常会漏掉一些情况.

综上所述，勾股定理的使用要注意很多细节，而不只是简简单单地代公式，而是要对三角形的边、角等进行深入的分析，对可能存在的情况进行分类，在平时的解题过程中就要注重培养缜密的思维和良好的审题习惯，这不仅对知识点的掌握有益处，还可以更好地提高学生们的数学素质，启迪学生的思维.