刍议一元二次方程根与系数关系在解题中的运用

彭胜生

一元二次方程是初中数学里的重要内容，根与系数的关系又是一元二次方程的重点，这个知识点有着较为广泛的应用，习题内容丰富，题目的形式灵活多样，常与几何、二次函数等问题结合考查，是后续学习和考试的热点，也是方程理论的重要组成部分.

一、基础知识

1. 公式的演变过程

2. 知识的使用方法

（1）先把所给的一元二次方程化为一般形式；

（2）注意二次项系数不等于0这个隐含条件；

（3）公式的运用要满足Δ ≥ 0这个隐含条件. 使Δ ≥ 0这个条件成立的方法有两种，一是先解出字母的值后代入原方程检验，然后舍去不合题意的值. 二是先由 Δ≥ 0确定出字母的取值范围，然后再做取舍.

3. 三个常用结论

（1）若系数ac < 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一对异号根；

（2）若系数a + b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根為1；

（3）若系数a - b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根为-1.

二、综合运用

1. 不解方程，求与根有关的代数式的值

例1 已知：α4 + α2 - 1 = 0，β2 + β - 1 = 0，求β - α2的值.

在解题时经常要运用方程根的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

2. 利用常用结论解决问题

例2 已知：关于x的一元二次方程mx2 - （3m + 2）x + 2m + 2 = 0（其中m > 0）. 设方程的两个实数根分别为x1，x2（x1 < x2）.若y是关于m的函数，且y = x2 - 2x1，求这个函数的解析式.

此题也可利用求根公式求出两根x1，x2，再代入y = x2 - 2x1，也可得到结果， 但这种方法稍显烦琐且计算容易出错.

3. 利用根与系数的关系构造一元二次方程来解方程

例3 解方程（x2 + 3y2 - 7）2 + |xy - 2| = 0.

4. 已知一根求另一根及未知数的值

5. 由根与系数的关系求待定系数的值

例5 已知x1和x2是关于x的方程kx2 + 4x - 3 = 0的两根，若△ABC的两条边长是该方程的两根，且这两边长的差为2，求k的值.

本题除了要考虑未知系数的取值是否使根的判别式为非负数，还要考虑未知系数的取值是否符合实际问题的意义. 根与系数的关系在数学领域的运用相当广泛，知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容，也要求我们在初中数学教学工作中应倍加重视.