数学中考中最值问题的解法探析

储开德

数学中考试卷中经常出现有关求最值的问题，成为中考的热点.下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法.

一、利用“垂线段最短”求最值

例1 （2013江苏无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 .

解析 ∵ OA = 8，OB = 6，∴ AB = 10.

（1）当CD是平行四边形的边时，CD = AB = 10.

二、利用“两点之间，线段最短”求最值

例2 （2009漳州）如图1，∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q，R分别是OA和OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

解析 分别作P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD，则PR + PQ + RQ ≥ CD，当Q，R在线段CD上时，△PQR周长最小.

∵ ∠COD = 2∠AOB = 90°，OC = OD = OP = 10，

三、利用“兩点之间，线段最短”和“垂线段最短”求最值

四、利用“三角形三边关系”求最值

例4 （2011四川广安）如图3所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD = 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A，B，D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-1，2），D（3，0）.连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON. 若抛物线y = ax2 + bx + c经过点D，M，N.

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA = PC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时，有|QE - QC|最大？并求出最大值.

五、利用一次函数求最值

例5 （2013湖北十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：

（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？

（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？

分析 （1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100 - x）盏，然后根据进货款 = A型台灯的进货款 +B型台灯的进货款列出方程求解即可.

（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值.

解析 （1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100 - x）盏. 根据题意得，30x + 50（100 - x） = 3500，

解得x = 75，

所以，100 - 75 = 25.

答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏.

（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，

则y = （45 - 30）x + （70 - 50）（100 - x）

=15x + 2000 - 20x

= -5x + 2000.

∵ B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，

∴100 - x ≤ 3x，

∴ x ≥ 25.

∵ k = -5 < 0，

∴ x = 25时，y取得最大值：-5 × 25 + 2000 = 1875（元）.

答：商场购进A型台灯25盏、B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元.

六、利用二次函数求最值

（1）求抛物线对应的函数关系式.

（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A，B，O的对应点分别是D，C，E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由.

（3）在（2）的条件下，连接BD，已知在对称轴上存在一点P使△PBD的周长最小，求出P点的坐标.

（4）在（2）（3）条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O，B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM，PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围. S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由.

（2）根据菱形的性质得出C，D两点的坐标分别是（5，4），（2，0），利用图像上点的性质得出x = 5时，y = 4；x = 2时，y = 0，∴点C和点D都在所求抛物线上.

综上所述，我们求两条线段之和的最小值、两条线段之差的最大值以及三角形周长的最小值时是通过轴对称变换进行转化. 求利润的最大值以及图形面积的最大或最小值，通常是建立一次函数或二次函数模型，一次函数根据自变量的取值范围和函数的增减性求得最值；二次函数要先进行配方，然后根据自变量的取值范围和函数的增减性求得最值.相信同学们经过努力就一定能掌握和运用这些方法求解最值问题.