简单的线性规划命题趋势和突破方法

张亚飞

通过对历年新课标全国卷以及考试大纲的分析，我们很容易发现高考对线性规划的考查已经趋于稳定。预计2015年高考对本届的考查仍将以对目标函数的最值或取值范围的求解为主，题型以选择题、填空题的形式出现，难度不大，分值约为5分，是考生的得分主阵地。

一、历年考题

①2010年新课标全国卷文科11题。已知？荀ABCD的三个顶点为A（-1，2）、B（3，4）、C（4，-2），点（x，y）在？荀ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（ ）：A.（-14，16）、B.（-14，20） 、C.（-12，18）、D.（-12，20）。②2011年新课标全国卷文科14题。若变量x、y满足约束条件3？燮2x+y？燮96？燮x-y？燮9， 则z=x+2y的最小值为（ ）。③2012年新课标全国卷文科5题。已知正三角形ABC的顶点A（1，1）、B（1，3），顶点C在第一象限，如果点（x，y）在△ABC内部，那么，z=-x+y的取值范围是（ ）：A.（1-■，2） 、B.（0，2） 、C.（■-1，2） 、D.（0，1+■）。④2013年新课标全国卷文科14题。设x、y满足约束条件1？燮x？燮3-1？燮x-y？燮0，则z=2x-y的最大值为（ ）。⑤2014年新课标全国卷文科11题。设x、y满足约束条件x+y？叟ax-y？燮-1，且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）：A.-5、B.3、 C.-5或3、D.5或-3.

二、试题分析

①2010年新课标全国卷文科11题，求z=2x-5y的取值范围。②2011年新课标全国卷文科14题，求z=x+2y的最小值。③2012年新课标全国卷文科5题，求z=-x+y的取值范围。④2013年新课标全国卷文科14题，求z=2x-y的最大值。⑤2014年新课标全国卷文科11题，求参数a的值。2010年、2012年考查的是目标函数的取值范围，2011年、2013年考查的是目标函数的最值，2014年根据目标函数的最值确定参数的值。通过以上高考试题的分析不难看出，高考要求考生理解二元一次不等式组的几何意义，能准确地画出二元一次不等式组表示的平面区域，而后确定目标函数的最优解。

三、命题意图

通过以上题目的解答，可以看出线性规划问题一般有三种题型。一是求最值，常考类型包括z=ax+by，z=ax-by，z=（x-a）2+（y-b）2，z=■ ；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围。由此不难预测，对目标函数及参数的几何意义的理解和应用仍将是2015年高考考察的重点，且有可能会加强与向量运算、概率的结合。因此，应给予充分重视。

四、突破办法

解决线性规划问题的主要方法是图解法，利用图解法解决线性规划问题的一般步骤如下：

①作出可行域。可行域是不等式组表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。具体方法是：将约束条件中的每一个等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集。确定的方法是：直线定界，特殊点定域。即注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线。若直线不过原点，特殊点常选取原点，若直线过原点，则特殊点常选取（1，0）或（0，1），然后将特殊点代入到不等式中，如果满足则特殊点所在区域就是不等式表示的区域，如果不满足，则取另外半面。

解决线性规划问题，关键步骤是在图上完成的。所以，作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范。

②作出目标函数值为零时对应的直线l0.

③在可行域内平行移动直线l0，从图（图略）中能判定问题有唯一最优解，或者有无穷最优解，或者无最优解。

④确定最优解，从而得到目标函数的最值。确定最优解时，若没有特殊要求，一般为边界交点。若实际问题要求的最优解是整数解，若我们利用图解法得到的解为非整数解，应做适当调整，其方式应以与线性目标函数直线的距离为依据，在直线附近寻求与直线距离最近的整点，但必须在可行域内寻找。同时，考虑到作图毕竟还是会有误差，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后注意检查，以“验明正身”。

总之，解决线性规划问题首先要找到可行域，注意目标函数所表示的几何意义，然后数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），代入目标函数中，求出对应的最优解。

（河南省洛阳市新安县教师进修学校）