谈数学思想在教学中的渗透

冯杰华

摘要：初中数学蕴含了许多经典的数学思想，它是解决数学问题的指导思想与基本策略。抓住数学思想方法，是提高解决问题能力的根本所在。因此，对学生进行数学思想的渗透，可以使学生真正成为学习数学的主人。

关键词：数学思想；分类；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0004

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的本质认识，是数学发现、发明的关键和动力。初中数学的主要数学思想是数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、整体思想等。以下是笔者在教学活动中运用数学思想教学的一些体会：

一、数形结合思想

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，以实现数形结合。数形结合是数学解题中常用的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。数学大师华罗庚曾经说过：“数离形，缺直观；形离数，难入微。”因此，在数学课堂教学中，教师应引导学生将数形有机地结合起来，发挥数与形各自的优势，从而使学生更好地找到解决问题的有效途径。

例1. 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3-3-1表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

（1）求与y的函数解析式。

（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的。

（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元。

（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于3O件时，可选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案。

图像在上方的说明它的函数值较大，反之较小；当然，两图像相交时，说明在交点处的函数值是相等的。

二、分类讨论思想

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以分析。这种分类思考是一种重要的数学思想，也是一种重要的逻辑方法，同时又是重要的解决问题的策略。分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力十分重要。

例2. 已知直角三角形的两边长分别是3和4，求第三边的长。

解：（1）3和4是直角边时，则第三边是斜边，利用勾股定理容易得到斜边是5。

（2）3是直角边，4是斜边时，则第三边是直角边，仍用勾股定理得到第三边是■ 。

例3. 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积。

分析：本案例是无附图的几何问题，在此情况下一般要考虑多种情况的出现，需要对问题进行分情况讨论。我们应仔细分析题意、挖掘题目的题设、结论中可能出现的不同情况，然后采用分类思想加以解决。

解：（1）当等腰三角形为锐角三角形时（如图1），由勾股定理，得AE=25m

由DE∥FC，得△ADE∽△AFC

∴■=■，FC=24m，S△ABC=■×40×24=480（m2）

（2）当等腰三角形为钝角三角形时（如图2），同理可得S△ABC=■×64×24=768（m2）

点拨：使学生对勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识的掌握上升为解决问题的一种能力，并纳入已有的认知结构，利用知识产生迁移，成为新的知识生长点。

在教学中，教师应注意抓住问题的契机，适时地渗透分类思想，培养学生的分类意识，以提高学生分析、解决问题的能力。

三、化归思想

化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。如将分式方程化为整式方程，将几何问题化为代数问题，将四边形问题化为三角形问题等。实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。

例4. 如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图3-1-3，根据勾股定理，则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如图3-1-4和图3-1-5，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。

证明：（1）当△ABC是锐角三角形时，如图3-1-4，过B作BD⊥AC，交AC于D。

设CD为x，则有BD2=a2-x2

根据勾股定理，得（b-x）2+a2-x2=c2

即a2+b2-2bx=c2。∵b>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2>c2。

（2）当△ABC是钝角三角形时，如图3-1-5，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。

设CD为x，则有BD2=a2-x2

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2

（上接第4页）

即a2+b2+2bx=c2。∵b>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2

勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：a2+b2=c2的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？教师可以引导学生通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系。

四、整体思想

整体思想的表现形式主要有整体联想、整体设元、整体配方、整体展开、整体补形、整体改造、整体代换、整体求导等。

例5. 已知x=■-1，求■的值。

解：因为x=■-1，（x+1）2=（■）2，所以x2+2x=2。

因此，原式=■=■=-1。

用整体思想解题不仅过程简捷明快，而且富有创造性。在数学课堂教学中，教师引导学生运用整体思想解决实际问题，可使学生在进行数学知识和实际生活双向建构的过程中，体会到数学的价值，享受到数学学习的乐趣，体验到充满生命活力的学习过程。

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的本质认识，是解决数学问题的指导思想和基本策略。因此，教师在教学中要体会教材例题、习题以及练习中所体现的数学思想和方法，培养学生用数学思想解决问题的意识，使他们成为数学的主人。

参考文献：

[1] 郑毓信.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2] 除 骏.浅谈知识的传授与思想方法的教学有机结合[J].初中数学教与学，2006（12）.

（作者单位：广东省高要市金渡镇华侨初级中学 526108）