谈数学思想在教学中的渗透

2014-04-29 00:44冯杰华
中学课程辅导·教学研究 2014年25期
关键词:数学思想分类应用

冯杰华

摘要:初中数学蕴含了许多经典的数学思想,它是解决数学问题的指导思想与基本策略。抓住数学思想方法,是提高解决问题能力的根本所在。因此,对学生进行数学思想的渗透,可以使学生真正成为学习数学的主人。

关键词:数学思想;分类;应用

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)09-0004

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的本质认识,是数学发现、发明的关键和动力。初中数学的主要数学思想是数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、整体思想等。以下是笔者在教学活动中运用数学思想教学的一些体会:

一、数形结合思想

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,以实现数形结合。数形结合是数学解题中常用的思想方法,它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。数学大师华罗庚曾经说过:“数离形,缺直观;形离数,难入微。”因此,在数学课堂教学中,教师应引导学生将数形有机地结合起来,发挥数与形各自的优势,从而使学生更好地找到解决问题的有效途径。

例1. 某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,图3-3-1表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:

(1)求与y的函数解析式。

(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的。

(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案?

解:(1)y1=20x,y2=10x+300。

(2)y1是不推销产品没有推销费,每推销10件产品得推销费200元,y2是保底工资300元,每推销 10件产品再提成100元。

(3)若业务能力强,平均每月保证推销多于3O件时,可选择y1的付费方案;否则,选择y2的付费方案。

图像在上方的说明它的函数值较大,反之较小;当然,两图像相交时,说明在交点处的函数值是相等的。

二、分类讨论思想

在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以分析。这种分类思考是一种重要的数学思想,也是一种重要的逻辑方法,同时又是重要的解决问题的策略。分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解,提高分析问题、解决问题的能力十分重要。

例2. 已知直角三角形的两边长分别是3和4,求第三边的长。

解:(1)3和4是直角边时,则第三边是斜边,利用勾股定理容易得到斜边是5。

(2)3是直角边,4是斜边时,则第三边是直角边,仍用勾股定理得到第三边是■ 。

例3. 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地,腰长为40米,一条笔直的水渠从菜地穿过,这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰,水渠穿过菜地部分的长为15米(水渠的宽不计),请你计算这块等腰三角形菜地的面积。

分析:本案例是无附图的几何问题,在此情况下一般要考虑多种情况的出现,需要对问题进行分情况讨论。我们应仔细分析题意、挖掘题目的题设、结论中可能出现的不同情况,然后采用分类思想加以解决。

解:(1)当等腰三角形为锐角三角形时(如图1),由勾股定理,得AE=25m

由DE∥FC,得△ADE∽△AFC

∴■=■,FC=24m,S△ABC=■×40×24=480(m2)

(2)当等腰三角形为钝角三角形时(如图2),同理可得S△ABC=■×64×24=768(m2)

点拨:使学生对勾股定理、相似三角形的判定及性质等知识的掌握上升为解决问题的一种能力,并纳入已有的认知结构,利用知识产生迁移,成为新的知识生长点。

在教学中,教师应注意抓住问题的契机,适时地渗透分类思想,培养学生的分类意识,以提高学生分析、解决问题的能力。

三、化归思想

化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易。如将分式方程化为整式方程,将几何问题化为代数问题,将四边形问题化为三角形问题等。实现这种转化的方法有:待定系数法、配方法、整体代入法以及化动为静、由抽象到具体等。

例4. 如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图3-1-3,根据勾股定理,则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形,如图3-1-4和图3-1-5,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论。

证明:(1)当△ABC是锐角三角形时,如图3-1-4,过B作BD⊥AC,交AC于D。

设CD为x,则有BD2=a2-x2

根据勾股定理,得(b-x)2+a2-x2=c2

即a2+b2-2bx=c2。∵b>0,x>0,

∴2bx>0, ∴a2+b2>c2。

(2)当△ABC是钝角三角形时,如图3-1-5,过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D。

设CD为x,则有BD2=a2-x2

根据勾股定理,得(b+x)2+a2-x2=c2

(上接第4页)

即a2+b2+2bx=c2。∵b>0,x>0,

∴2bx>0, ∴a2+b2

勾股定理是我们非常熟悉的几何知识,对于直角三角形三边具有:a2+b2=c2的关系,那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢?教师可以引导学生通过作高这条辅助线,将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系。

四、整体思想

整体思想的表现形式主要有整体联想、整体设元、整体配方、整体展开、整体补形、整体改造、整体代换、整体求导等。

例5. 已知x=■-1,求■的值。

解:因为x=■-1,(x+1)2=(■)2,所以x2+2x=2。

因此,原式=■=■=-1。

用整体思想解题不仅过程简捷明快,而且富有创造性。在数学课堂教学中,教师引导学生运用整体思想解决实际问题,可使学生在进行数学知识和实际生活双向建构的过程中,体会到数学的价值,享受到数学学习的乐趣,体验到充满生命活力的学习过程。

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的本质认识,是解决数学问题的指导思想和基本策略。因此,教师在教学中要体会教材例题、习题以及练习中所体现的数学思想和方法,培养学生用数学思想解决问题的意识,使他们成为数学的主人。

参考文献:

[1] 郑毓信.数学思维与数学方法论[M].成都:四川教育出版社,2001.

[2] 除 骏.浅谈知识的传授与思想方法的教学有机结合[J].初中数学教与学,2006(12).

(作者单位:广东省高要市金渡镇华侨初级中学 526108)

猜你喜欢
数学思想分类应用
分类算一算
分类讨论求坐标
数据分析中的分类讨论
教你一招:数的分类
浅谈数学思想在初中数学教学中的应用
《复变函数》课程的教与学
加强数学思想渗透发展数学思维能力
如何培养学生学习数学的兴趣
GM(1,1)白化微分优化方程预测模型建模过程应用分析
煤矿井下坑道钻机人机工程学应用分析