返璞归真——例谈运用基本概念解题

刘侃

摘 要：概念是思维的细胞，数学概念是数学思维的细胞。数学概念的建立是数学思维的起点，不建立数学概念，也就谈不上数学知识的形成与发展、数学命题的发现与证明、数学思想方法的形成与掌握，更谈不上数学思维能力的形成与发展等深厚数学素养的养成，数学科学这座大厦也就无从建立。

关键词：概念；证明；数学

其实，任何一门学科都是在一定范围内，明确了研究对象，在相应的哲学思想及研究方法的指导下，遵循“现实材料（原型）——概念的形成——基本命题的建立——实际应用”这样的逻辑顺序建立起来的。数学这门学科的建立也不例外。概括起来说，学科建立的顺序是“实践（现实材料）——理论——实践（实际应用）”。在数学教学中，在解题思路的方向选择上，“建立概念，从基本概念出发”是一条基本而重要的思路。今年泰州市中考数学压轴题（第28题）就充分体现了这一点，现予以详述如下。

题28：已知一次函数y=kx+b的图像分别交y轴、x轴的正半轴于点A、点B，☉O的圆心在坐标原点，半径为，见图1。（1）若OA=OB，求：①k的值；②设b=4，点P是直线y=kx+b上的动点，从点P作☉O的切线PC、PD，C、D是切点，若PC⊥PD，求动点P的坐标，见图2。（2）若k=-，直线y=kx+b与☉O相交，将其分成两段弧，这两段弧的长度之比为1∶2，求b的值。

分析：（1）①如图1。方法一：待定系数法。由OA=OB得A（0，b），B（b，0），代入y=kx+b得： kb+b =0，∵b≠0，∴k=-1。方法二：公式法。由OA=OB得纵截距b=横截距a，依公式k=-得k=-=-1。方法三：平移法（解法略）。

②如图3。联结OC、OD、OP，∵PC、PD是☉O的切线，∴OC⊥PC， OD⊥PD，又PC⊥PD ，∴四边形OCPD为矩形，由OC=OD（同圆的半径相等）知：四边形OCPD为正方形，∴OP2 =2OD2 =2×（）2 =10。∵动点P在直线y=-x+4上，∴可设动点P的坐标为P（x，4-x）；从P作PH⊥ox轴于点H，则OH2 +PH2 =OP2 ，即x2 +（4-x）2=OP2，∴x2+（4-x）2 =10，解得x1 =1，x2=3，∴P1（1，3），P2（3，1）。

（2）如图4。方法一：公式法与面积关系法。设直线l∶y=kx+b与☉O（）交于点M、N，分☉O所成的两段弧，劣弧MN与优弧MN之比为1∶2，联结OM、ON，则∠MON=360°×=120°；从O作OQ⊥直线MN于点E，交☉O于点Q，则ME=NE， ∠MOE=∠NOE=60°，∠OME=30°，∴OE=OM=OQ=。又设直线l∶y=-x+b分别交y轴、x轴于点R、S，则由公式k=-，k=-，有-=-，∴ a =2b，即OR=b， OS=2b， ∴RS=b。在Rt△ORS中，有面积关系OR×OS=OE×RS，∴b×2b=×b，即b×（b-）=0，∵b≠0 ，∴b= ，∴ b=±。方法二：公式法与相似形法。由上面知：△ORS、△ERO、△EOS均为相似的直角三角形，且短直角边∶长直角边∶斜边= b∶2b∶b=1∶2∶，∴RE∶OE∶OR=1∶2∶， 又OE=，OR=b，∴∶b=2∶ ，∴b =，∴ b=±。方法三：公式法。易求得OE=，又OE⊥MN，∴OE的长即为原点O到直线l∶y=-x+b的距离，把直线l化为一般式得：x+2y-2b=0，由点（x0，y0）到直线A×X+B×Y+C=0的距离公式d=，得=，∴b=±。

评述：第（2）小题的关键之处，也即本题的亮点之处，就在于紧扣住斜率k的意义进行转化，而转化的方向不止一个，因而就产生了不同的解题思路；如果过不了“正确理解k的意义”这道坎，本题最终就解不下去了，这也是本道题的核心之所在：用斜率k联系纵横截距b、a，即用纵截距（OR） b的代数式表示横截距（OS） ，充分体现了“回到基本数学概念上去”的基本理念。其他关键之处还有：一是将弧的长度之比转化成圆心角的度数，再利用垂径定理求得圆心O到MN的距离；二是利用相似关系或面积关系来列出方程，从而求出b的值。从知识考查的角度看，本题考查了圆、垂径定理、直角三角形、勾股定理、相似形、方程、函数、斜率k的意义等基础知识，考查了数形结合思想、方程思想、函数思想、解题策略的开放性，特别是考查了“回到基本概念上去或从基本概念出发”这一原始的基本理念。本题是一道集函数、几何、方程、解题策略于一体的具有一定开放性的综合性的压轴题，具备较高的数学思维能力与知识考查的价值。

在中考复习中，对这样的综合性大题应进行专题讲解与训练，分析归纳解题的思路途径（分析法与综合法）与方法（直接法与间接法），提炼其数学思想（数形结合、分类讨论、化归与转化、模型思想），从而提高学生的数学思维水平与能力。

（江苏省兴化市安丰初级中学）