建构基于儿童的数学理解

《辞海》中对理解的解释是：“理解是通过揭露事物间的联系而认识新事物的过程。”理解也是教育目标分类中的一个重要学习指标，数学课程标准中对“理解”这一目标层次的要求是：对概念和规律（定理、公式、法则等）达到理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎么得出来的，它与其他概念和规律之间的联系，有什么用途。所以，“理解”不是简单的知识“记忆”“知道”“照本解释”或者“照本运用”，而应该是学生在已有知识经验的基础上，通过思考发现知识间的内在联系，并能以多种不同方式重新呈现，且在适当的情境中正确地应用，从而使认知结构得到扩展和提高的过程。

数学理解则是指学生在已有数学知识和经验的基础上，建立新知识的个人心理表征，建构新知识的个人心理意义，不断完善和发展头脑中的数学知识网络，并能将纳入知识网络中的新知识灵活地加以提取和应用。本文试以“用字母表示数”的案例，来阐述笔者对基于儿童的数学理解的认识。

一、 了解儿童的认知发展水平，契合理解层次

皮亚杰将智慧的发展划分为四个阶段：感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段。小学阶段主要以具体运算阶段和形式运算阶段为主。

“用字母表示数”在四年级正式进入学生数学认知体系中。用字母表示数，需要理解用含有字母的式子表示数量、数量关系、运算结果、计算公式、数学规律等等。学生之前一直接触的是用具体的实数表示数量关系，现在则要逐步用抽象的符号来进行描述和概括，他们开始接触代数式、用方程解决实际问题，数学思维逐步走向抽象。这一内容是符合四年级学生的认知特点的。10岁左右的儿童，大脑前额皮层发育完善，玩的天性开始有所收敛，大脑的抑制功能加强，思维能力的发展处于转折时期，抽象概括、分类、比较和推理能力开始形成，思维的敏捷性和灵活性以及做题的速度和准确性提高。这一阶段，儿童逐步能够不受事物内容的限制，通过假设等方式进行推理，形成完整的认知结构系统。

要让儿童理解数学，首先要理解儿童，了解儿童的认知特点，才能做到科学育人。无论是教材所提供的学习内容，还是教师主动寻找适合孩子学习的学习材料，都要能够遵循儿童不同的年龄特点，用更适合儿童理解的方式进行教学。

二、顺应儿童已有的认知基础，切入理解基点

在学习新的数学知识之前，学生已经具备了与所要学习的新知识相关的一些经验和看法，这些已有的知识经验不仅引导着学生对数学现象的观察和解释，还影响着学生对教师和教材提供的信息的理解。

比如：在四年级学习“用字母表示数”前，学生在学习三年级下册83页“长方形和正方形的面积”时，已经接触到了长方形和正方形的面积公式S=a×b，S=a×a，在四年级上册56页“运算律”已经了解了加法交换律a+b=b+a，加法结合律a+b+c=a+（b+c），乘法交换律a×b=b×a，乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c），四年级下册54页“运算律”认识了乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c。这些用字母表示的规律或运算公式，分布在连续三个学期的三个单元里，也就是说，学生对“用字母表示数”的感知并不是一张白纸，只是没有系统的认识，还未连成相应的知识结构，未能完整地掌握用字母表示数的内涵。基于儿童理解的数学教学，一定是从儿童的已有认知经验出发，从学生的最近发展区里进入学习，让学生不觉得知识的陌生，顺应学习的发展，逐步趋于同化。

第一板块设计：

教师提出学习任务：观察四年级下册教材第54页上的（a+b）×c=a×b+b×c，这个用字母表达的规律表示什么意思？为什么要这样表达？之前还有没有这样用字母来表达的数学公式？请你写一写，并举一些具体的例子。

让学生通过写一写已经了解的用字母表示的公式，举一举可以表示的具体算式，让学生从抽象到具象以及从具象到抽象两个方面来理解用字母表示数的内涵，感受体验用字母来表达规律的简便和概括性。从课堂效果分析，这一起点的设计，是基于儿童的数学基础的，学生比较全面地理解了用字母表示数更简洁、更概括，这里的字母可以表示任何非0的数，达到了预期的教学目标。

在数学教学中，不少教师往往会忽视学生已有的认知基础，更不会去研究不同的学生已有的不同的基础。在教学设计和实施中，他们把学生的起点预设为“零”，缺少挑战性，缺少个性化，不同的学生难以得到不同的发展。因此，数学理解的基础一定是建立在学生已有的学习基础之上，教师可以通过前测等方式来了解学生的基础。

三、设计具有思考价值的问题，丰富理解内涵

教师在教学设计中要围绕数学理解的核心问题，开展数学活动，通过问题解决来建构对数学知识的理解，让学生不断发现问题、分析问题和解决问题，尊重学习规律，促进学生发展。

第二板块设计：

“用字母表示数”在学生的认知中，一般会认为字母可以表示任何数。在第一板块的学习中，学生还仅仅认识到用字母表示运算律和计算公式，这对于用字母表示数的理解来说还是浅层次的。因此，在第二板块中我设计了两个具有思考价值的问题，来推进学生更深地理解用字母表示数也表示两个数量之间的关系，还表示一个结果。同时，进一步打破学生对字母表示任何数的思维局限，了解用字母表示的数是需要在一定的情境中进行确定的，是有一定的条件的。

问题一：先写一写下面的问题应该用什么式子表示，再想一想字母可能会表示什么数？

（1）一件上衣a元，一条裤子比上衣便宜12元。一条裤子（ ）元。（2）小亮有10张卡片，送给小红b张，小亮还剩（ ）张。（3）小刚每天看课外书15页，a天共看了（ ）页。

问题二：出示两个储蓄罐，其中一个是空的，教师放进10个硬币，显示有10元。另一个储蓄罐有钱，但不知多少，可以用字母来表示。提问：如果我要把两个储蓄罐里的钱放在一起，如何用算式来表达？结果用什么来表达？

在以上的学习活动中，围绕数学理解的核心提出了两个有一定思维深度的问题，学生在解决问题的过程经历了一个顺应、打破认知结构平衡、内化的理解过程。

理解10+x和（10+x）有什么不同，这对于儿童来说是高层次的数学思维活动，必须建立直观清晰的数学情境活动，让学生把抽象和具象结合在一起。因此，我采用储蓄罐演示的方式，让孩子清晰地看到10+x是表示两个储蓄罐的钱要加在一起，而（10+x）是表示一个储蓄罐的钱，学生能清楚地感知到（10+x）表达的是一个结果，10+x才表示一个关系式。

第二板块的学习中，还有一个颇有价值的问题，那就是“字母可以表示什么数”，是对未知数数值范围的确定。在具体的问题中，学生突破字母可以表达任何数的理解局限，放到情境中来理性判断与选择字母所能表示的数。这是学生从低层次思维走向高层次思维的重要一步，也为后续解方程，特别是中学的方程解打下基础。由此建立比较严密的数学思维，让学生有更清晰的数学判断与选择，对“用字母表示数”有更深刻的内涵理解。

两个板块中都有一根基于儿童理解的逻辑主线。用字母表示规律、数量关系、运算结果，这是一条主线；另一条主线是让学生感知用字母表示的数，可以是任何数，但也有可能是有取值范围的，这需要根据情境进行分析与判断。这两根主线穿插在两个板块里面，有机地融合起来。

教学过程中，核心问题的确定，关键问题的厘清，有价值问题的提炼，都是基于儿童的数学理解基础上进行分析、判断、选择的。其中的逻辑关系、层次关系需要在教学设计时予以关注。可知与未知，任意与有范围，常量与变量，这一组组具有辩证意蕴的数学思想在学习中不断被提及，不断被渗透，不断被同化，提升了学生的数学素养。

四、在“第一时间”建立认知，整体性助力儿童理解

学生的数学理解往往是螺旋上升，随着学习的进程而不断深化的。比如在小学阶段学生以为数就是自然数、小数、分数，后来增加了一个负数，但随着认知的深入，才认识到实数、虚数，有理数、无理数，整数、分数……这样的数学学习推进，是符合儿童的认知特点的，但也带来一个问题：学生会固化对某一个知识的整体认识，在后续学习中要打破认知的局限有一定的困难。因此，在小学阶段的数学学习中，我们要根据学习内容，尽可能在“第一认知时间”里让学生整体感知，然后再逐步深入理解。

用字母表示数，四年级是一节起始课，但用字母表示数在代数思想的领域中是非常重要的一节课，让孩子整体感知一下代数思想是非常必要的。

第三板块学习：

1.一本笔记本的单价是a元。你会填写下表吗？

2.

（1）小华家到学校的路程是（ ）米。

（2）小军家到小丽家的路程是（ ）米。

（3）小华家到小丽家的路程是（ ）米。

这两个内容，是书上的题目，我没有定位于知识的理解内化，而是从学生建构整体认知的理念出发，进行了价值提升：第一题渗透“变与不变”的函数思想，让学生感受单价不变，数量变化总价也在发生变化；第二题渗透方程思想。因为本节课教材只提到用含有字母的式子来表示算式，但其实含有字母的式子是方程的一个部分，是否能在第一认知时间里让他们顺着含有字母的式子来理解含有字母的等式呢？我在设计中根据小华家到学校的路程是800+x，提出了一个问题：“只要知道什么量，就能知道小军家到学校的路程？”学生非常自然地说只要知道小华家到学校的具体路程，就能知道小军家到学校的路程了。教师在800+x的基础上变成了一个方程式800+x=1500（虽然没有把“这就是方程”的概念告诉给学生，但他们应该在第一时间内就留下了深刻的印象）。学生从含有字母的式子转变到含有字母的等式，非常自然，建构了相对完整的认知链。在小军家到小丽家的路程是x+y的认识基础上，学生提出x+y=1700，教师让他们分析含有两个未知数的等式时能不能得出结果，学生发现不行。但如果和第一个算式结合起来，倒是能算出另一个结果的，这里就渗透了初中的二元一次方程组的知识。这种渗透式的学习，给学生在第一时间的学习中留下印象，对儿童数学理解的整体性是有帮助的。

五、对单元进行整体重组设计，提升数学理解

基于儿童的数学理解，在教学时首先要改变的是教师对教材认识的观念。如“用字母表示数”一课，我基于儿童的数学理解，对单元整体进行了调整与重组。第一课时，引导学生在第一时间认识用字母表示数，因此，我重点让孩子们感受用字母表示数、表示数量关系、表示一个结果，寻找数的范围，感知含有字母的等式是如何产生的等等。在整体理解和感知后，在第二课时再进入到学习书写与简写的环节，也就是用字母表示数的技能训练。第三课时再把数字带入含有字母的式子，解决实际问题。课时数不变，但在设计上的张力更大，空间更宽，可以让学生感知和理解的东西更丰富。

基于儿童的数学理解，必须了解儿童，了解儿童的认知特点、认知规律，了解他们前在的、潜在的认知基础与方法。数学教学不能停留在片段性的零碎知识层面，也不能仅仅满足教给一般的程序和方法，而要把教学内容并入数学思想的脉络中，还原它的意义情境，让学生在这个背景下理解、生成知识。这不但能帮助学生有效地构建各自系统的认知结构并随时通畅地提取信息，也能促使各种数学知识融会贯通而使学生达到思考自如的状态，真正实现基于儿童的数学理解。

（金松武，常州市西新桥小学，213000）

责任编辑：宣丽华