正整数的等比分拆

仇鹏翔

【摘要】根据组合数学中关于正整数分拆的广泛应用，本文将对分拆进行补充，初步探究正整数的等比分拆数.规定，把正整数 表示成一列成等比数列（至少三项）的正整数之和的形式，就叫做 的等比分拆.本文就对 的等比分拆的计数问题进行初步的研究，探讨正整数 成一列等比数列的正整数之和的形式共有多少种即求正整数 的分拆数，并总结其计数规律.

【关键词】正整数；正整数的等比分拆；分拆数；计数规律

1.引言

正整数分拆问题一直以来都是组合数学、图论、数论研究的一个重要的课题，尤其在寻找各种分拆数的计数公式，有关分拆数的恒等式，分拆数的性质的组合证明等各方面始终都是分拆理论研究的重点，同时也取得了丰富的成果.

2.正整数等比分拆的定义及其相关计数公式

2.1 正整数的等比分拆的定义

定义 把正整数 表示成一列成等比数列（至少三项）的正整数之和的形式，就叫做 的等比分拆.

引理2.1[10]设正整数 的标准分解式为 （ 是互不相同的素数， ， ），则 ， .

2.2 的计数公式

定理2.2.1 若正整数 为大于3的偶数，则 ；若 为不小于3的奇数，则 .

证明：因為正整数 ， ， ，所以当 为大于3

的偶数时， 必有正约数1和2，因为 ，故 只能取除1和2之外所有 的正约数值，故 ；当 为不小于3的奇数时， 必有正约数1，因为 ，故 只能取除1之外所有 的正约数值，故 .从而原命题得以证.

2.3 的计数公式

定理2.3.1 若 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，且 ， ，则 .

证明：若 = ，

则当 值越小时， 值越大.又 ，且 ，所以 ，

从而 ，从而 ，又因为数列 是等比数列， ，所以 .

推论2.3.1 正整数 存在公比为2的正整数等比分拆的充要条件是 ，其中 ，（ ）.

性质2.3.1 若正整数 ，其中 ，

（ ），则 存在公比为2，首项为 的正整数等比分拆.

推论 2.3.2 若 ，

（ ， ， ），则 .

性质2.3.2 若 是 的正整数等比分拆的公比，则 ， ..

推论2.3.3 正整数 的等比分拆： ，其中数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ， ，则

.

推论2.3.4 若正整数 ， （ ， ），则 存在公比除1外的等比分拆.

2.4 正整数 的等比分拆的分解式求法

引理[11]正整数 ， ， ，记 ， ，…， ，…， ， ， ， ，若 存在，则正整数 存在公比除1外的等比分拆，即 .

推论3.4.1 .

证明：显然成立.

性质2.4.1 对 ，（其中 为正整数（ ），数列 为等

比数列， ，且 ， ），必存在 ，且 有且只有一个的.

参考文献：

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