三视图

赵银仓

重点难点

重点  掌握空间几何体三视图的画法规则，能够画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图，能识别上述几何体的三视图所表示的空间几何体的模型，并用三视图解决一些简单的综合问题.

难点  识别空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等的简单组合体）的三视图所表示的几何体.

方法突破

一、画空间几何体的三视图的基本思路

（1）掌握画空间几何体的三视图的两个基本步骤：第一步，确定三个视图的形状;第二步，将这三个视图摆放在同一平面上. 在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓用虚线表示出来，即“眼见为实，不见为虚”.

（2）掌握画空间几何体的三视图的画法规则：长对正、宽相等、高平齐，即正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”. 正视图和侧视图的“高平齊”.

（3）弄清三视图与空间几何体的几何量之间的关系：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图的宽就是空间几何体的最大宽度. 要严格按照这个规则画空间几何体的三视图.

二、画空间几何体的三视图的基本策略

（1）理解三视图的概念，并能恰当选择投影面画出三视图.

（2）明确平行投影的性质并能灵活应用：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段;②平行直线的平行投影是平行或重合的直线;③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长;④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等;⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.

（3）明确正投影的性质并能灵活应用. 在物体的平行投影中，如果投影线正对着投影面（即投影线与投影面垂直），这样平行投影即为正投影. 正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：①垂直于投影面的直线或线段的正投影是点;②垂直于投影面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.

（4）在进行三视图与直观图的相互转化中，应牢记柱、锥、台、球图形的特征及斜二侧画法的规则和正投影的性质，特别注意侧视图的投影方向.

（5）注意投影规律和作图规则. 作图要熟记投影规律：“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”. 作图时切记被遮挡的部分要画成虚线.

典例精讲

一、画图

例1  （2014年高考江西卷）一个几何体的直观图如图1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（    ）

图1

A       B       C       D

思索  由于该几何体的底面是水平放置的，所以俯视图为光线从几何体的上面向下面正投影到底面上的图形. 弄清各个顶点在底面上的投影，因为每个点都是可见的，所以连结线都为实线.

破解  根据给出的图形及四个选项知，此几何体的底部为长方体，所以俯视图为矩形;上部两个顶点的投影在矩形内，且连线与横向平行，所有线段都为可见线段，故选B.

例2  （2014年高考北京卷）在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1， ）. 若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ）

A. S1=S2=S3

B. S2=S1且S2≠S3

C. S3=S1且S3≠S2

D. S3=S2且S3≠S1

思索  根据三视图的画法规则，过每个点分别画所研究投影面上的投影，连线即得所在平面上的投影，即视图，然后由视图的图形特点计算其面积.

破解  由题知，三棱锥D-ABC在平面xOy上的投影为△ABC，所以S1=2;设D在平面yOz、平面zOx上的投影分别为D2，D1，则D-ABC在平面yOz、平面zOx上的投影分别为△OCD2，△OAD1，因为D1（1，0， ），D2（0，1， ），所以S2=S3= ，因此D正确.

二、识图

例3  （2014年高考重庆卷）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（    ）

A. 54  B. 60  C. 66  D. 72

思索  解题的关键是通过三视图想象原空间几何体，其依据是三视图的画法规则. 由三个视图的图形特征及联系，可确定原几何体分为两部分：下部分是三棱柱，上部分是四棱锥，三棱柱的上底面是四棱锥的一个侧面，且为直角三角形，由三视图中标注的量可得到原几何体中长度的度量，由此来计算其表面积.

图2

破解  由画法规则还原几何体的形状，可知这个几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱上面去掉一个三棱锥后一部分，如图3. 其中∠BAC=90°，侧面A1ACC1是矩形，其余两个侧面都是直角梯形. 由于A1C1∥AC，AC⊥AB，平面ABC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1，所以A1C1⊥A1B1，因而△A1B1C1是直角三角形. A1B1= = =5，故几何体的表面积为：S=S△ABC+S△A B C +S +S +S = ×3×4+ ×3×5+3×5+ ×（5+2）×4+ ×（5+2）×5=60. 故选B.

图3

三、综合

例4  （2014年高考北京卷）某三棱锥的三视图如图4所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.

图4

思索  由三视图可知，该三棱锥有一条侧棱与底面垂直，因此可根据 “正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽” 及图中的数据推断出该三棱锥的底面是等腰直角三角形，其形状如图5所示，可通过计算求解.

图5

破解  如图5，侧棱PB⊥底面ABC，且底面△ABC是等腰直角三角形. 底面三角形的边长不能为最大，最大只能在侧棱中. 因为侧面△PAB与侧面△PBC都是直角三角形，且有一条公共的直角边，又因为AB=2，CB= ，所以PA>PC， PA= = =2 ，所以最长的棱长为2 .

例5  （2014年高考四川卷）已知三棱锥A-BCD及其左视图、俯视图如图6所示. 设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

（1）证明：P是线段BC的中点;

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

图6

思索  根据三视图的特征知，俯视图为三棱锥的底面，而左视图为三棱锥的一个侧面，且这两个面互相垂直，都是边长为2的等边三角形.

破解  （1）如图7所示，取BD的中点O，连结AO，CO. 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD均为正三角形，所以AO⊥BD，OC⊥BD. 因为AO，OC 平面AOC，且AO∩OC=O，所以BD⊥平面AOC. 又因为AC 平面AOC，所以BD⊥AC.取BO的中点H，连结NH，PH. 又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，因为AO⊥BD，所以NH⊥BD. 因为MN⊥NP，所以NP⊥BD. 因为NH，NP 平面NHP，且NH∩NP=N，所以BD⊥平面NHP. 又因为HP 平面NHP，所以BD⊥HP. 又OC⊥BD，HP 平面BCD，OC 平面BCD，所以HP∥OC. 因为H為BO的中点，所以P为BC的中点.

（2）二面角A - NP - M的余弦值是 ，过程略.

图7

变式练习

1. （2014年高考福建卷）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（    ）

A. 圆柱  B. 圆锥

C. 四面体  D. 三棱柱

2. （2014年高考浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图8所示，则此几何体的表面积是（    ）

图8

A. 90cm2  B. 129cm2

C. 132cm2  D. 138cm2

3. （2014年高考辽宁卷）某几何体的三视图如图9所示，则该几何体的体积为（    ）

A. 8-2π  B. 8-π

C. 8-   D. 8-

4. （2014年高考全国卷I）如图10，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（    ）

A. 6  B. 6

C. 4  D. 4

图10

5. （2014年高考安徽卷）一个多面体的三视图如图11所示，则该多面体的表面积为（    ）

A. 21+    B. 18+

C. 21   D. 18

图11

6. （2014年高考陕西卷）四面体ABCD及其三视图如图12所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

（1）求四面体ABCD的体积;

（2）证明：四边形EFGH是矩形.

图12

参考答案

1. A    2. D    3. B    4. B

5. A    6. （1）   （2）略