以课堂例题再探究启发学生思维

朱建军

摘 要：立足课本例题，挖掘一些一题多解的思维方法，提出有助于学生各种思维习惯形成的解题方法，传授给学生，让他们从中学会思考。这对于学生的逆向思维和发散思维的能力及学生分析能力的培养是行之有效的。

关键词：课堂例题；探究；启发；思维

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）13-089-1

纵观近几年来的江苏高考数学试题，源于课本的题型占据了一定的份量，我们重视例题教学的同时，还要探索解题途径的过程，这实质上是不断变更的过程，一个题目立足已给定的条件，从试题中挖掘一些一题多解的思维方法，提出有助于学生各种思维习惯形成的解题方法，传教给学生，让他们从中学会思考。

必修五第二章P43例题3

在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，根据前10项的和为310，第11项到第20项的和为910，带入基本量后，可以解得：a1=4，d=6，从而，利用等差数列前n项和的公式，首项为a21，末项为a30，可计算得结果为1510.

从上例中我们发现：等差数列的前10项和，次10项和，后10项和成等差数列.

进一步，引导学生思考，你能得出更一般的结论吗？

结论：等差数列的前n项和，次n项和，后n项和，……也成等差数列。

在教学过程中，我们还可变换等价条件，改造题型，添加题设、结论等各种方式达到举一反三，触类旁通的效果，这对于学生的逆向思维和发散思维的能力及学生分析能力的培养是一种行之有效的方法。

变题：在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.

思考一：利用上述性质求解，简化运算。

解析：设等差数列的公差为d，根据上述性质，可得：前10项和，第11项到第20项的和，……，第101项到第110项的和成等差数列。所以，新数列前10项和为原数列的前100项和为10，运算可得，公差d=-22.从而，新数列前11项和为原数列的前110项和为-110.

思考二：利用基本量方法，代数方程思想求解。

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，直接代入等差数列前n项和公式，可得a1=1099100，d=-1150.所以，S110=-110.

此种思路是教学着重强调的常规解法，学生比较容易接受与理解。

思考三：利用函数思想，待定系数法求解。

解析：设等差数列{an}的前n项和为：Sn=An2+Bn（A，B为常数），则代入数据，可解得A=-11100，B=11110，所以，S110=-110.

思考四：利用本身属性（定义）求解。

解析：因为{an}为等差数列，所以第11项到第20项的和为-90.利用等差数列下标和的性质，可以得到：第1项加第110项的和等于第11项加第100项的和均为-2，因而，利用等差数列前110项和公式，可得S110=-110.

思考五：利用整体思想求解。

解析：在苏教版必修五教科书后练习中，我们曾今推导过一个结论：前p+q项的和为-（p+q）.对照上述结论，可得：S110=-110.

思考六：构造新数列求解。

解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，根据等差数列前n项和公式，可以得到，{Snn}是公差为d2的等差数列.可得，S110=-110.

思考七：利用直线中三点共线的充要条件解题。

解析：在等差数列{an}中，点（n，Snn），n=1，2，3，…是斜率为d2的直线上的一个点列，则构造三点A（10，S1010），B（100，S100100），C（110，S110110），由三点共线，他们的斜率相等，即：kAB=kAC.从而，可计算得到S110=-110.

对于以上等差数列中求和问题，提供了多种解题方法，其思考的过程就是将诸多知识和能力进行综合运用的过程。如果在平常的教学过程中，能够坚持这样启发引导，必将能激发学生思维，拓宽学生分析问题的思路，培养学生发散思维能力，达到解决问题的目的，从而提高学生的综合素质。

[参考文献]

[1]单墫.高中数学教学参考.江苏教育出版社，2012（04）.

[2]韩军利.高中数学中的一题多解问题.数学学习与研究，2014（03）.