穿衣服与脱衣服

赵广乐 董亚平

摘要：现行《普通高中课程标准实验教科书——数学1》中删除了反函数的概念，一则是为了给学生减负，二则是因为函数与反函数的关系难于理解。然而，反函数历来是高校自主招生的热点难点内容，故有志于自主招生的优秀高中生，有必要了解反函数是什么，有什么用。本文用日常的“穿衣服、脱衣服”，类比理解函数与反函数的关系，为学生学习数学、理解数学推开了一扇新的窗户。

关键词：“穿衣服”；“脱衣服”；函数；反函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0156

我们人类一天的开始，始于睁眼穿衣。正常人类穿衣服是有顺序的，必先穿内衣，然后才能穿外衣。当然，超人例外！

我们知道，函数可以看作来料加工的工厂，函数对原料的作用就是一系列的加工过程。同理，人类穿衣服可以看作是人类对自身的一个加工(装扮)过程，亦可以视为函数！

我们用g来表示穿内衣；用来表示穿外衣。冬日清晨，某位同学早早起床准备去学校上学，此时，他应该先穿内衣，即得到g(x)，然后他需要穿好外衣才能抵御冬日的严寒，即得y=f [g(x)]，此时的y即装备齐全，准备出发的莘莘学子。傍晚，学习忙碌了一天的学子y回到家中，势必要先脱去外衣，然后再开始晚复习。事实上，人类脱外衣的动作势必要与穿外衣的动作相反，才能顺利脱下外衣！穿外衣的动作为函数f，那么脱外衣就是其反函数f -1。此时，脱去了外衣的学子可以开始复习了呢！深夜，该学生在入睡之前，要脱去内衣f -1(y)，与以清晨起床相同的状态入睡，脱内衣就是穿内衣的反函数，即g-1，此时，即得x=g-1[f -1(y)]。

通过上述描述，相信读者朋友们对函数与反函数的相互关系已经有了一个大致的了解，让我们再通过一个图表来详细诠释函数与反函数的相互关系！

由上述图表可知：复合函数y=f [g(x)]的反函数即为y=g-1[f -1(y)]。

我们以指数函数及其反函数对数函数为例，详细加以说明。

以指数函数y=ax(a＞1)为原函数，如图所示：

求其逆对应，得其本意反函数x=logay，如图所示：

我们习惯于使用x表示自变量，y表示函数值，故将其本意反函数(逆对应)x=logay中的x，y互换，得指数函数y=ax(a＞1)的矫形反函数y=logax(a＞1)。

如图所示：

综上，即得图示：

例1. y=f(2x-1)的反函数为()

A. y=f -1(2x-1)B. y=2f -1(x)-1

C. y=■D. y=■+1

解：y=f(2x-1)的逆加工过程为2x-1=f -1(y)，即得y=f(2x-1)的本意反函数为x=■，我们将其本意反函数中的x、y互换，即得y=f(2x-1)的矫形反函数 y=■。即本题选C。

例2. f(x)=■，函数y=g(x)的图象与y=f -1(x+1)的图象关于y=x对称，则g(3)=。

解一：y= f(x)=■的逆加工过程即为x=f -1(y)=■(本意反函数)，即y= f(x)=■的矯形反函数为y=f -1(x)=■，则f -1(x+1)=■。由y=g(x)的图象与y=f -1(x+1)的图象关于y=x对称，知y=g(x)为y=f -1(x+1)的反函数。由y=f -1(x+1)=■得逆加工过程x=■ g(x)=■g(3)=■。

解二：设 g(3)=a (3，a )在的图象上(a，3 )在y=f -1(x+1)的图象上，即得(a+1，3 )在y=f -1(x)的图象上，即f -1(a+1)=3a+1=f (3)=■a= ■。

上述两种解法各有优劣，解法一过程清晰，思路明了，弊端在于计算较为繁琐；解法二小题小结，简洁明快，是解小题的不二选择，但弊端在于无法清晰体现求反函数的过程。综上：学习过程中，我们应以学习解法一为主，考试答题我们应以法二为上。

例3. α，β分别是方程log2x+x-3=0，2x+x-3=0的根，则α+β=

。

解：重要观点：解方程即两个函数求交点的横坐标。

例：解方程ax2+bx+c=0(a＞0)

函数y=log2x+x-3和y=2x+x-3=0的图象我们是不会画的，但不要紧，我们可以通过移项，将题目转化成我们会画的函数：log2x=-x+3和2x=-x+3，即α为y=log2x与y=-x+3交点的横坐标；β为y=2x与y=-x+3交点的横坐标。而事实上，y=2x与y=log2x互为反函数，图象关于y=x对称。如图所示：

由图即知：α+β=3

例4. y=■求函数的值域

解析：大多数数学参考书上，对于此类问题的求解皆采用分离系数法，事实上，利用反函数求此类函数的值域快捷而便利。cxy+dy=ax+b (cy-a)x=b-dy x=■，此时，我们已经得到函数y=■的本意反函数x=■(其中cy-a≠0，即y≠■)，由反函数的定义域即为原函数的值域可知y=■，函数y=■的值域为{yy≠■}。

函数的本质是一对一或者多对一的映射。就反函数而言，中心词是“函数”，换言之，反函数亦是函数，通俗些理解，不过是反过来的函数而已。注意到多对一的函数，反过来就是一对多，不再是函数，故我们说：一个函数若有反函数该函数一一对应。

例5. “函数存在反函数”是“函数单调”的条件。

解：单调函数必一一对应，即函数单调 该函数一一对应

该函数存在反函数。

但一一对应的函数，未必单调，如图所示：

综上：“函数存在反函数”是“函数单调”的必要不充分条件。

例6. 函数y=f(x)=kx+3，f [f(x)]=x，则k+3=

解析：函数与反函数互为逆加工过程。若视f为穿衣服的过程，那么f -1即为脱衣服的过程，则f -1[f(x)]=x，即给x穿衣，再脱去同一件衣服，相当于x对没有进行加工。这也是反函数f -1记号使用的好处，其运算可以仿照幂运算：x2×x-2=x0=1，即f -1与f 可以互相抵消。这就好像正负电子相遇会发生湮灭一样！

由f [f(x)]=x，即知f(x)=f -1(x)，即y=f(x)=kx+3的反函数亦为其本身，换言之，y=f(x)=kx+3的图象即关于y=x对称k=-1

k+3=2。

对于大多数高中学生而言，数学是枯燥无味的代名词，是折磨人脑力的魔鬼，更有甚者，认为数学纯粹是无聊的数字游戏，对人生和未来毫无用处。

事实上，数学源于生活、高于生活、用于生活。我们的日常生活中处处可见数学，而数学的思想方法亦来源于生活。各位对数学心怀厌恶的读者、各位还在为数学成绩苦苦挣扎的学子，只要我们勤思善想、勤于观察、勤于思考，数学并非遥不可及。数学就在你我身边！

参考文献：

[1] 熊斌,陈双双.高中数学解题高手[M]．上海：华东师范大学出版社，2010.

[2] 韩旭．数学那玩意——自主招生秘籍[M]．杭州：浙江大学出版社，2011.

(作者单位：内蒙古包头市第一中学014040)