高中排列组合问题浅析

韩高峰

排列组合应用题，题目比较灵活，首先要注意会将实际问题数学化，然后就是要善于总结常见题型的不同处理方法.

1.特殊元素〝优先法〞

例1.从 这5个元素中取出4个元素放在4个不同的格子中，且元素 不能放在第2个格子里，问共有多少种不同的放法？

分析：这里 是特殊元素，第2个位置是特殊位置，因此要先〝照顾〞特殊；再考〝一般〞.

解：解法一（元素分析法）：这里 是特殊元素，应先排 ，但考虑到取出的4个元素中可能有 也可能没有 ，因此对此问题应该分为两类：

第一类：若取出的4个元素中有 ，则排 有 种排法；再从 中取出3个，排在另外的三个格子中，有 种，所以此类的排法总数为 种；

第二类： 若取出的4个元素中没有 ，则有 种排法；所以共有 + （种）不同的排法.

解法二（位置分析法）：由于第二个格为特殊位置，应先排第二个格，有 种（从 这四个元素中取1个），再排另外的3个位置，有 种不同的排法，所以共有 （種）不同的排法.

【规律归纳】对于存在特殊元素的排列组合问题，可以从这些特殊元素入手，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再去满足其他元素或位置的要求，这种解法就是特殊元素优先法.

2.相邻问题〝捆绑法〞与不相邻问题〝插空法〞

例3.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：

（1） 全体排成一行，其中男生必须排在一起；

（2） 全体排成一行，其中男生不能排在一起；

解：（1）捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，

共有 （种）.

（2）插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有 （种）.

【规律归纳】〝捆绑法〞即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；〝插空法〞即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

3.分排问题“直排法”

例4.有3名男生、4名女生，在下列不同的条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人.

解：（1）从7个人中选5个人来排，是选排列.有 种.

（2）分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排在后排，有 种方法，故共有

种.

事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.

【规律归纳】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列.

4.定序问题〝倍缩法〞

例5.有3名男生，4名女生，全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变的排列种数是多少？

解：定序排列，第一步：设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 ；第二步： 对甲、乙、丙进行全排列，则为7个人的全排列，因此 （种）.

【规律归纳】定序问题除法处理的方法.即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列.

5. 至少（至多）问题间接法（也可用直接法）

例7.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1） 至少有1名女运动员；

（2） 队长中至少有1人参加；

（3） 既要有队长，又要有女运动员.

解：（1）方法一（直接法）：名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为

种.

方法二：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.

从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.

所以“至少1名女运动员”的选法为 种.

（2）方法一：可分类求解：

“只有男队长”的选法为 ；“只有女队长”选法为 ；“男、女队长都入选”的选法为 ；所以共有 种选法.

方法二：间接法：

从10人中任选5人有 种选法，其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长”的选法为 种.

（3）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 种选法.则既有队长又有女运动员的选法共有 种.

【规律归纳】解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.

6.排数问题“重两端，择主线”

例8.用数字 组成没有重复数字的数.

（1）能组成多少个六位数？

（2）能组成多少个六位奇数？

（3）能组成多少个能被5整除的六位数？

（4）能组成多少个比 大的数？

解（1）第一位数字不能为 ，有 种方法，其他各位数字有 种不同的排法，故共能组成的六位数有 （个）.

（2）要使六位数为奇数，其个位数字必须是1或3或5中的一个，且第一位数字不能为0，故所求的六位奇数的个数为 （个）.

（3） 要使六位数能被5整除，其个位数字必须为5或0.当个位数字是0时，有 个；当个位数字是5时，有 个，因此能被5整除的六位数的个数为 （个）.

（4） 要比 大，有以下几类情况：

首位数字是 或 或 时，各有 个； 首位数字是 时，第二位数字是 或 ，但不包含

在内，有 个；因此共有比 大的数的个数为

【规律归纳】排数字问题是排列组合问题中最常见的一类题型，这类问题应把握住在排数字时，如首位和末位等这些特殊位置，如 ，奇数，偶数等这些特殊元素，需认真地分析题意，分清主次，选择其一作为主线.

7.分组与分配问题

例9.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1） 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2） 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3） 平均分成三份，每份2本；

（4） 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5） 分成三份，一份4本，另外两份每份1本；

（6） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

（7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【分析】该题是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.

解：（1）无序不均匀分组问题.先选1本有 种选法；再从余下的5本中选2本有 种选法；最后余下3本全选有 种选法.故共有 种不同的分配方式.

（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题的基础上，还应考虑在分配，故共有 种不同的分配方式.

（3）无序均匀分组问题.先分三步，则应是 种方法，但这里出现了重复.不妨记六本

为 ，若第一步取了 ，第二步取了 ，第三步取了 ，记该种分法为

，则 种分法中还有 ，

，共有 种情况，而这 种情况仅是 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 种.

（4）有序均匀分组问题.在第（3）题的基础上再分配给3个人，共有分配方式

种.

（5）无序部分均匀分组问题. 共有分配方式 种.

（6）有序部分均匀分组问题.在第（5）题的基础上再分配给3个人，共有分配方式 种.

（7）直接分配问题.甲选1本有 种方法，乙从余下5本中选1本有 种方法，余下4本留给丙有 种方法.共有分配方式 种.

8.多元问题分类法

例10.（2008重庆理16题）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点 上各装一个灯泡，要求同一条

线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法

共有 种.（用数字作答）

解：由题意四色必用完，现以侧面 的四点进行讨论：

① 侧面 四点用4色，则侧面四点有 种装法，而 点可从 两色中选一种，故有 种装法，同理 点的装法也有 种，所以此装法共有 （种）.

② 侧面 四点用两种颜色，即 ， 相同且 ， 相同，则侧面四点有 种装法，因四色必用完，那么 两点的装法有 种，故此装法共有 （种）.

③ 侧面 四点用三种颜色，即 ， 相同或 ， 相同，若 ， 相同，则 有两种情况： 与 相同， 点只有1种装法； 与 不同， 点也只有一种装法.所以此类方法有 （种）.

故总的安装方法共有 .

答案：

例11.有红、黄、蓝三种颜色的小球各5个，都分别标有字母 ，先从中取出5个，要求字母各不相同且三种颜色齐备的取法种数共有（ ）

A.60 B. 90 C.150 D.243

解析：由题意知取出的5个小球字母各不相同且三种颜色齐备，若从颜色角度分析，取出各色小球的个数应为3，1，1或2，2，1，即三色中有一色为3个，另外两色各为1个，或三色中有两色各为2个，另外一色为1个，然后再排字母.首先排3，1，1，从三色中选一色有 种选法，再从此色5个字母中选3个有 种选法，剩余两色2个字母的选法为 ，故此种取法的种数为

；同理可得取出各色小球个数为2，2，1时，取法的种数为 .

故符合题意的取法共有 选C.

【规律归纳】当一个较复杂事件可分解成幾个简单事件时，常可以考虑用分类讨论的方法，逐一击破.但在分类时要注意不重不漏.

通过以上例题我们可以看出，对排列组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.概括起来说，解排列组合可总结为“24字方针，12个技巧”.

.“二十四字方针”是：加乘明确，有序排列，无序组合；分类为加，分歩为乘. 此二十四字为解排列组合题的基本规律.

.“十二个技巧”是速解排列组合题的捷径.即：

①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题直排法；④定序问题倍缩法；

⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；

⑨至少（至多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑾局部与整体问题排除法；

⑿复杂问题转化法.