同一三角形之高线长的关系及其应用

杨文汉

对于每个三角形，它们三边之关系大家是很熟悉的，即“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”.其实任意三角形的三条高之间的长度关系也有着密切的联系.

也就是：三角形任意两条高的倒数和大于第三条高的倒数，三角形任意两条高的倒数差小于第三条高的倒数.

上述结论也可理解为：有一条边上的高为单位1的三角形中，另两边上的高的乘积大于它们的差而小于它们的和.

与三角形三边关系一样，为了体现“任意”，又要快捷判断，只要用较短两条线段长相加都大于第三条线段长，那么这三条线段一定能组成三角形.同样地，只要用最短的线段长的倒数减去另外一条线段长的倒数都小于第三条线段长的倒数，那么这样的三条线段都可以作为一个三角形的三条高.

事实上，如果在排除B之前，一开始就想到了利用面积关系，将高的长度关系转化为边长的关系，再与相应直角三角形进行比较，就已经直接找到了正确答案.不过有了前面的排除法，那就“双保险”了.