巧解九连环

范铭飞

【摘要】如何有效开发或开设选修课，拓展学生的知识面，发展学生的特长，培养学生的个性，便成了广大教师需要探索和思考的课题.

【关键词】选修课；知识拓展类；数学教学；九连环；递推数列

笔者参与了数学选修课的开发和开设过程，在此期间也有一些感悟与想法，所以把它写出来与各位同行交流.为了方便交流，下面提供了一节数学选修课的教学设计片段，供同行在实践中参考.

一、教学历程

课题：九连环与递推数列.

背景：高一数学选修课——知识拓展类《高中数学知识探究和思考》中的一节实践探究课.

课前准备：九连环每桌一个，表格每桌一张.

1.创设情境，提出课题

教师（手上拿着九连环）：大家玩过九连环吗？想玩吗？这节课我们一起玩九连环.

学生（炸开了锅）：好！

教师：九连环是中国民间玩具，目的是把九个圆环全套上或卸下.游戏规则：九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下.要想下或上第n（n>2）个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：

一、第n-1个环在架上；

二、前n-2个环全部不在架上.

没等教师介绍完，部分学生已经拿起桌上的九连环开始玩.

教师：大家先停一下，你们知道当今世界上解九连环速度最快的人是谁吗？他是老年人、中年人还是青年人？

（大部分）学生：中年人.

教师：让我来解开谜底.（电脑播放观看视频《扛起世界记录——蒙眼分解九连环速度最快的人》）

学生震惊了：解九连环速度最快的人竟是江西一位16岁的少年.

正是这一独具特色、吸引学生的引入，调动了学生潜意识中的好奇心和挑战心理，激发了他们探究的欲望，使学生自发地、热情地参与到课堂中来，使接下来的探究教学收到了意想不到的好效果.

2.动手游戏，合作交流

学生开始两人合作游戏，动手解环.有的学生反应敏捷，已经解下4环了，大部分学生已解下前3环，在解第4环时就卡住了.笔者请已经解下5环的一名学生到台上演示.然后同桌之间相互合作，讨论完成发下来的表格.

教师：解下前5个圆环所需移动的最少次数分别是多少呢？

学生1：次数依次为：1，2，5，10，21.

教师：正确.那么九个圆环都解下来所需的最少移动次数呢？

学生1：我觉得解第5环就比较麻烦了，如何计算啊？

学生2：可以找规律啊.这里移动的次数可否组成一个有规律的数列呢？

教师：事实胜于雄辩！学生2的质疑很有道理.我们能不能根据移动次数构造一个数列呢？

经过讨论，同学们达成共识：构造数列.用an表示解下n个圆环所需的最少移动次数.显然，a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，a5=21.

学生观察这一列数，陷入一片寂静.

教师：实践出真理.大家动手再继续解环，找一找解第5个环的前一步骤是什么？

教室又进入解环游戏中……

学生3：为了解下第5个圆环，必须先解下前3个圆环，如果前4个圆环已经被解下，第5个圆环就无法再解下；如果前3个圆环已经被解下，第5个圆环就可以很容易解下.相反地，要套上第5个圆环，必须先套上前3个圆环.套上一个圆环与解下一个圆环的过程正好相反，所需次数相同.可以把这个结论推广到n个环.

3.大胆假设，深化提高

教师：刚才我们在实践中感知九连环在解环过程中存在的递推关系，从而得出解九连环最少需要移动341次.让我们来个大胆的猜想，假如，我这里有一个99连环，解下这99个圆环最少需要移动多少次呢？

学生4：9个环比较少，可以用递推关系.99个圆环用递推关系去算不方便.

学生5：在数列中学过当遇到n较大时求项的话，要用通项公式.

教师：学生5说得很好.我们可否得到这个数列的通项公式呢？我们再动手解九连环，特别注意相邻几个环之间的关系.

学生5：若我们再用bn表示前n-1个圆环都已经解下后，在解下第n个圆环所需的次数，则可得下式：

an=an-2+1+bn-1.

二、教学感悟

1.九连环是递推数列的拓展与延伸

纵观此节课，有限的教学资源得到了充分的开发和利用.本课例九连环的教学中，涉及了许多知识、技能、思想方法和思维品质.首先九连环为递推数列提供了非常好的背景，在必修5课本中只是简单地通过谢宾斯基三角形具体的一个例子得到数列的递推公式.其次求递推数列通项公式是数列知识的一个难点，通过这节课的学习，加深了“九连环”与递推数列的联系，使学生对数列递推公式有了进一步的掌握和提高.发展综合运用已学的知识和技能，解决实际问题的方法和学生的逻辑推理能力，转化思想、分类讨论思想、数学归纳思想，思维的深刻性、敏捷性等重要内容在自然流畅的教学情境中得到有机的融合.

2.对高一学生思维发展的准确定位，优化课堂教学模式

以前的教学活动教师总是充当着“智者”的角色，给学生“传道、授业、解惑”.但在选修课开设中，笔者发现许多知识教师并不比学生多知道多少.如在确定“九连环”教学内容时，笔者是首次接触九连环，对解九连环很陌生.那么，怎样做好“指导老师”这一工作呢？那就只有放下教师的“架子”，对照说明书，自己先练习解九连环.为了破解九连环的神秘感，笔者整整花了一个下午的时间练习解九连环.

高一学生还保留少年时代的好动与好奇.据此，课例一开头，教师拿出九连环，又播放视频，引起学生的好奇和兴趣.学生已具有一定的观察力，课例从观看视频到学生亲自动手观察九连环，对观察的目的性、持久性和概括性都提出了要求；高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变.能够用假设、推理来思考和解决问题，这就为课例从具体到抽象、从粗糙到严谨的推理准备了思维基础.

3.对教材的重新开发

新的数学教材中，每一章节都增加了一定数量的阅读与思考材料，开辟了“链接”“探究”“阅读”等拓展性栏目，这为数学知识拓展类选修课提供了很好的平台.因此在教学中经常不情愿，甚至干脆不指导学生开展探究学习.而《普通高中数学课程标准（实验）》中明确指出：高中课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，是为学生形成积极主动、形式多样的学习方式进一步创造有利条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯.“九连环”是人教版《数学》A版（必修5）数列结束后阅读与思考的内容.教材中所涉及的仅限于九连环的构造、解法规则以及递推关系的推导.在平时的教学中，教师几乎没有组织对“九连环”进行探究.但在选修课的开设过程中，“九连环”可以作为我们的一个首选内容.在这节课的教学过程中教师努力营造良好的探究氛围，通过介绍九连环在中国的发展史和视频演示，激发学生的好奇心和斗志；鼓励学生通过合作、体验、实践、讨论等方式，让学生能够在玩中自主解决问题，在游戏中得到成功的喜悦.根据学生的认知水平，根据课程标准要求，仔细分析教材，深入挖掘数学内部的联系.从而有效地利用好教材，活用教材，这也是实现选修课是必修课的拓展与延伸的重要途径.

综上所述，“观念是行为的先导”，数学教育不只是给学生数学知识，更不是为了应付高考，教师要着眼于学生的长远发展，注重培养学生数学地思考问题、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]王尚志.普通高中选课与学习指南（数学）[M].北京：北京大学出版社，2006.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]高志雄.探究高中数学选修课程的实施[J].中学数学，2011（10）.