从一个“问题‘探讨’”谈新课改的希望

焦凤龙

摘 要： 新课程的核心理念是 “以人为本”、“以学生的发展为本”，新课程目标除了要授予学生基础的数学知识，培养学生的计算能力、数学逻辑思维能力等外，还要发展学生的创新意识、探究精神，自主地对问题进行探讨和研究.随着教育体制的改革，高考对学生的考查日益能力化，原有的课堂教学模式已不能满足当前的教育形势.新课程理念下的课堂教学更应该转变教学观念和教学方式，“面向全体学生”，“提高每个学生的数学科学素养”，“倡导探究性学习，力图促进学生学习方式的变革”.数学新教材倡导学生主动探索、自主学习、合作讨论，体现数学再发现的过程.数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生观察、操作、引导自主探究、独立再学习，建立一种自主、合作、孕育创造的学习模式.

关键词： 新课改 数学教学 问题设计

2010年9月，普通高中课程标准实验教科书（A版）在我地区首次使用，笔者深入研究新课程教材内容及新教法是在2011年9月，较新课程实验地区整整迟6年左右的时间.在实验地区推行新课程教材时，在教育一线的笔者深感责任的重大和紧迫感，课余时间相继阅读并学习新课改的目的，新教材的编排及教法，笔者直接并深入地接触新教材时不那么陌生和盲目.

笔者在设计“数学选修2-1第二章（圆锥曲线与方程）2.2.1椭圆及其标准方程（第2课时）”的导学案时，设计了如下一个问题：

问题一①：已知圆O：x+y=r（r>0），在圆O上任取一点P，过点P且垂直于x轴（垂足为D）的动弦交圆O于两点P、Q.当点P在圆上运动时，

（1）动弦PQ的四等分点M的轨迹是什么？

（2）在该问题中，你有什么发现吗？

笔者在该问题下预设了10分钟的时间，并让学生分组讨论，然后让组内组长总结发表并在黑板上展示自己的成果，展示成果如下：

图1

甲组：解：（1）如图1所示，设点P的坐标为（x，y），

点M的坐标为（x，y），则

x=x，y=2y.

又因为点P在圆O上，

所以x+4y=r（r>0），即+（r>0）.

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，且长半轴为r，短半轴为的椭圆.

（2）发现：过圆上任一点且与对称轴垂线段中点的轨迹是一个椭圆.

乙组. （1）同甲组.

（2）发现：过圆上任一点且与对称轴垂直的有向线段PD的定比分点的轨迹是一个椭圆.

此时的课堂，学生的这个发现让笔者眼前一亮，笔者给予学生充分的肯定及鼓励表扬后，追问道：“你能否把你们的这个发现更详尽地展示给同学们？”笔者话音刚落，有一位学生踊跃地站起来并在黑板上展示了自己的成果（同学们给予该同学热烈的掌声，课堂气氛比较活跃），展示如下：

如图2所示，设点P的坐标为（x，y），有向线段PD定比分点的M的坐标为（x，y），定比为λ（λ≠-1），则有

图2

x=x，y=（1+λ）y.

又因为点P在圆O上，

所以x+（1+λ）y=r（r>0且λ≠-1），

即+=1（r>0且λ≠-1）.

当r>，即λ>0或λ>-2时，有向线段PD定比分点M的轨迹是焦点在x轴上，且长半轴为r，短半轴为的椭圆，此时椭圆内切于圆O，切点分别为（-r，0），（r，0）；当r<，即-2<λ<0（λ≠-1）时，有向线段PD定比分点M的轨迹是焦点在y轴上，且长半轴为，短半轴为r的椭圆，此时椭圆外切于圆O，切点分别为（-r，0），（r，0）；当r=，即λ=0或λ=-2时，有向线段PD定比分点M的轨迹是圆O本身.

此时，看到学生在黑板上的板演过程，笔者情不自禁地也为该学生鼓了掌，同学们再次响起了热烈的掌声，同学们的情绪显得非常高涨.笔者顺着学生高涨的激情继续问道：“同学们是否还有其他的发现？” 同学们细微地查看着笔者的眼神，笔者静候同学们的再一次风波.一分钟、两分钟，时间慢慢地流逝，笔者觉着学生没有了发现（但时刻关注着的丁组喋喋不休），刚要进入导学案的下一个问题.此时，丁组的一位学生站起来说话了.老师，该问题能否改变一下已知条件求动点的轨迹？笔者肯定地说“能”，但心想着是不是改动了就偏离了本节课的学习目标和主干，矛盾的心理正在心中徘徊.此时此刻，该学生却毫不保留地将自己的问题及成果一一展示出来，笔者整理如下：

问题二：已知圆O：x+y=r（r>0），圆O与x轴的交点分别记为A、A，在圆O上任取一点P，过点P且垂直于x轴（垂足为D）的动弦交圆O于两点P、Q.过点A、P和A、Q的直线交于点M，当点P在圆上运动时，交点M的轨迹方程是什么？

解：如图3所示，设点P的坐标为（x，y），交点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-y），点A、A的坐标分别为（-r，0），（r，0）.

图3

因为点A、P、M共线，点Q、A、M共线，则有

=（x，x≠-r）①，=（x，x≠±r）②.

由①×②得=（x，x≠r）③，

又因为点P、Q在圆O上，所以x+y=r，即x-r=-y，将其代入③式化简整理得-=1（y≠0）.

笔者根据学生表述以板书的形式展示给学生后，继续追问：

1. 上述方程为什么y≠0，若y=0时，点M的坐标为什么，它满足方程吗？

2. 方程的轨迹是什么？

刚平静了的课堂又起轩然大波，学生兴趣顿时高涨，这时，45分钟的课堂已临近尾声，笔者将提出的问题留给学生在课外探讨，学生带着问题走进了课外的探讨学习中.

让笔者更欣慰的是学生将课外探讨的成果汇集后交了一份非常满意的答卷.

答卷一：特别地，当y=0时，x=±r，仍是方程-=1的解，故点M（±r，0）在方程-=1的曲线上，当y=r时，x=0，此时，l∥l，直线l与直线l无交点，故此时无轨迹.

答卷二：方程-=1的轨迹是§2.3介绍的“双曲线”.

继本节的讨论，笔者在设计“数学选修2-1第二章（圆锥曲线与方程）2.3.3双曲线简单几何性质（第3课时）”的导学案时，又设计了如下问题：

问题三：在“2.2.1椭圆及其标准方程（第2课时）”课后讨论答卷一中，同学们提出了“当y=r时，x=0，此时，l∥l，直线l与直线l无交点，故此时无轨迹”，那么此时直线l与直线l的方程是什么？方程-=1表示的轨迹——双曲线的渐近线方程是什么？其与直线l、l的位置关系是怎样的？笔者结合学生的讨论结果给予学生如下反馈：

问题四：已知圆O：x+y=r（r>0），圆O与x轴的交点分别记为A、A，在圆O上任取一点P，过点P且垂直于x轴（垂足为D）的动弦交圆O于两点P、Q.过点A、P和A、Q的直线交于点M，当点P在圆上运动时，交点M的轨迹是什么？

图4

解：如图4所示，设点P的坐标为（x，y），交点M的坐标为（x，-y），则点Q的坐标为（x，-y），点A、A的坐标分别为（-r，0）、（r，0）.

ⅰ.当动弦PQ为圆O的直径时，l∥l，直线l与直线l无交点，故此时无轨迹.

ⅱ.当动弦PQ不是圆O的直径时，因为点A、P、M共线，点Q、A、M共线，则有

=（x，x≠-r且x≠0） ①，=（x，x≠r且x≠0） ②.

由①×②得=（x，x≠±r且x≠0） ③，

又因为点P、Q在圆O上，所以x+y=r，即x-r=-y，将其代入③式化简整理得-（y≠0）.

特别地，当y=0时，x=±r，仍是方程-=1的解，故点M（±r，0）在方程-=1的曲线上.点M的轨迹是焦点在x轴上的等轴双曲线，且渐近线方程为y=±x，它与动弦PQ为圆O的直径时的连线l、l都是平行的，故此，当动弦PQ为圆O的直径时，点M自然无轨迹.

上述问题中反映了“圆与椭圆和双曲线即若即离的关系”，也体现了数学的一种“内在美和对称美”.

问题五：通过上述问题的探讨，你能找到椭圆与双曲线的一种“情侣”关系吗？（查找相关的资料，有条件的学生可上网查找.）

答卷三：“情侣线”之一.

如图5甲，焦点在x轴上的椭圆C：+=1（a>b>0）的动弦PQ和x轴垂直，A、A是椭圆与x轴的两个交点（称为椭圆的顶点），则直线AP与直线AQ的交点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线C：-=1（a>0，b>0）；反之，如图5乙，焦点在x轴上的双曲线C：+=1（a>b>0）的动弦PQ和x轴垂直，A、A是双曲线与x轴的两个交点（称为双曲线的顶点），则直线AP与直线AQ的交点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆C：+=1（a>b>0）.

甲 乙

图5

答卷四：“情侣线”之二.

如图6甲，F、F是椭圆C的焦点，P是椭圆C的任一点，从任一焦点向∠FPF的邻补角的角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是以原点为圆心，椭圆C长半轴长为半径的圆；F、F是双曲线C的焦点，P是双曲线C的任一点，从任一焦点向∠FPF的角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是以原点为圆心，双曲线C实半轴长为半径的圆.

甲 乙

图6

笔者看到学生有这样的探讨成果心中暗自高兴，学生虽不能在即时课堂知道上述方程的轨迹（双曲线），但这为双曲线的教学设计导学案（“情侣线”——椭圆与双曲线）埋下了伏笔，更体现了新课程的理念，将课堂还给学生，让学生做课堂的主人.课堂问题的艺术设计是教师面临的一个重大问题，它既有紧迫感又有责任感.国家的发展与富强要靠科技，“科技兴国”是伟大领导人邓小平提出的，而科技是要教育支撑的.艺术的课堂问题设计，正确地引导学生探索知识是激发和培养学生学习兴趣的有效手段，培养学生创新思维的重要途径，培养新一代人才是引领科技发展的重要基础.只有开发并挖掘学生的内在潜能，才能培育出新一代优秀的人才.

在教育一线的笔者看到了新课改的需要性、重要性和责任性，更希望一线的教育工作者认真研究新教材、新教法，逐步并认真贯穿新课程的理念，展望新课改的成果.

注释：

①普通高中课程标准实验教科书A版，数学选修2-1，第二章 圆锥曲线与方程，2.2.1椭圆及其标准方程，例2变式）

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书A版.数学选修2-1.