从证明托勒密定理过程中感受初等几何的思维视角

胡桂东

初等平面几何中定理、性质、结论较多，运用广泛，在数学竞赛中，证明几何题方法灵活机动，可从代数、几何、三角知识作深入性思考，现结合托勒密定理证明作简单阐述，供参考.

评注初等平面几何中对于许多题而言，添加适当的辅助线能帮助解决问题，其实读者从证明的过程中应该已经看到，证明过程中没有运算，通过作出辅助线，构造相似形成比例，简单而又直接，但是作辅助线的技巧要求却很高，对结论敏感直观的分析和平时解题经验积累及解题技巧提出很高要求，尽管很多题中的辅助线十分奇怪，但归根结底是运用一些基本想法，要作出成功的辅助线应当熟悉平面几何中的基本定义、定理、性质.

评注此题利用正、余弦定理将几何问题中边的结论转化为三角等式证明问题，再用三角公式进行化简与证明，证明思路比作辅助线构造三角形相似成比例更为直接，当然对三角函数公式提出更高的要求.

证法分析3利用解析法，将平面几何问题代数化，利用三角函数坐标定义，将A，B，C，D四点坐标化，通过距离公式证明结论.

评注通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，解题领域再次得到拓宽.解题方法虽有优劣之分，但解题领域的拓宽是在平时的学习过程中慢慢领悟出来的，正确规范中解题，错误订正中修复，查漏补缺中归纳，习题练习中巩固，基础知识和学科素养都源自平时整个的学习过程，宝贵的学习资源需要加强反思和总结.

上述通过一个定理的证明剖析，认为学习过程不仅有体会的过程，更要有领悟的过程，才能使知识片段进行有机的衔接，解题思路和视野才能得到有效的拓宽，仅凭个人的一点经验和想法，恳请各位读者批评指正.