高等数学函数一致性连续性问题研究

孙健

【摘要】高等数学函数在目前的研究当中，出现了一些问题，在一致性和连续性的研究当中出现了一些分歧.连续函数是数学分析当中，着重讨论的一类函数，对深入研究具有非常重要的作用，而函数的一致性对日常教学和高等数学的进步来说，也能够起到较大的推动作用.在学习数学分析的时候，多数人都会将函数的连续性与一致性混淆，导致学习人员仅仅能够理解浅层意思，而不了解深层含义，甚至无法学习后续的知识，因此，对高等数学函数一致性连续性问题研究，还是非常有必要的.

【关键词】函数；连续性；一致性

连续函数对揭示自然界连续变化的现象有很重要的作用，比方说气温的连续上升或者下降，距离的连续增加等等，它们如果用数学的抽象方式来表达，就是连续性函数.从客观的角度来说，利用高等数学函数的连续性来解决问题，会更加准确，并且能够找到根本原因.从连续性派生的一致连续性，更是函数性质从其局部到整体上的拓展性，使研究的函数性质更加深入，更加全面.高等数学的复杂程度较高，在研究一致性连续性问题的时候，除了要避免混淆以外，还要不断地探索二者之间的联系以及各项作用，将高等数学函数的连续性和一致性更好地利用，而不是一味地在理论上研究.在此，本文主要对高等数学函数一致性连续性问题进行研究.

一、高等数学分析中函数一致连续的概念的理解

函数的一致连续性体现了一个连续函数的变化速度有无“突变”.相对来说，函数的变化既有规律可循，同时也无规律可循.高等函数在一定程度上可以通过定义或者数学函数式来寻求结果.但是，部分函数由于自身的性质比较特殊，因此不具有意义.函数连续一致性不仅仅体现在区间上的每一点，同时还要在区间上所有点邻近点的函数的大致变化趋势要均匀.这就是理论上的函数一致连续性.下面，本文从两个方面来讨论一下高等函数的一致连续性.

（一）定义1

高等数学分析中函数一致连续的概念过于理论化，如果没有实际的证明，势必得不到认可，并且无法在实际的工作当中产生较大的积极作用.经过长久的研究和积淀，数学家将高等数学函数一致连续分为两个定义.定义1：（假设函数f（x）在区间I上连续）区间为I上的f（x）函数，如果ε>0，那么函数上的每一个点x∈I，由此可以推理出，函数区间上的每一个点都存在相应的δ=δ（ε，x）.从以上的定义来分析，只要x∈I，并且|x2-x1|<δ，就能够推导出|f（x1）-f（x2）|小于ε.最后得出的结论为：函数f（x）在区间I上显示出连续的状态.从定义1来看，高等数学函数一致连续性需要符合区间和数学式上的要求，并且按照一定的规律来存在.

（二）定义2

相对来说，高等数学函数一致连续性不仅仅具有一种性质或者一种定义，而是能够通过两种或者是两种以上的定义、性质来表达.定义1是教学和研究常用的定义，并且对高等数学函数一致连续性问题的研究，产生了较大的积极意义.下面，本文就定义2进行阐述.定义2：此定义也被称为一致连续性的定义.在区间I上定义的f（x）函数，如果对ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范围内的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推导出|f（x1）-f（x2）|<ε，那么区间I上的函数f（x）一致连续.

（三）归纳

从以上的阐述来看，一致连续概念与连续概念当中的δ并不一样，可以通过很多的例子来说明.当函数f（x）在区间I上拥有一致连续性的概念时，可以通过相应的例子来引出.通过不同的例子和不同的定义，学生和教师在学习、研究高等数学函数一致性连续性问题的时候，就能够对δ的取值方法更加清楚，同时也可以对高等数学函数一致性连续性问题更加深入地理解和学习.我们在研究和分析高等数学函数一致性连续性问题的时候，应该从两个定义出发，因为具体的数学式和具体的表达含义是不同的，在实际当中的应用范围也不一样.为了保证能够更好地利用函数，同时在深入研究的时候，减少混淆和不必要的问题发生，必须对函数连续一致性的其他方面进行研究，获得更多的规律和知识.

二、函数连续一致性条件

“条件”在函数的研究当中，具有非常重要的影响和意义.简单来说，“条件”就是保证高等数学函数一致性连续性问题具有研究意义的保障.函数连续一致性要想能够继续研究下去，并且能够对实际的工作产生意义，就需要依赖条件来进行.从目前的研究情况来分析，函数连续是函数一致连续的必要条件，但不是充分条件，是一种在自然情况下，推出的结论.由此可见，高等数学函数一致性连续性问题的研究，“条件”的研究是非常重要的方面.根据G康托定理，区间连续性要想转变为区间一致连续性，一共有两种情况，同时这两种情况是目前都能够满足的.第一，区间存在界限，但是并不是完全为闭区间，一致连续性的点可能被开的端点所破坏.这种情况是一种比较普遍的情况，同时是研究“条件”的重要方式.第二，区间的两个端点或者一个端点的取值为正无穷的时候，函数的一致连续性也可能被函数在无穷远处所破坏.在这种情况下，我们就要附加一些条件，比方说在函数一致连续性的开的端点或者无穷远点破坏点处加上一些限制性的条件，让无意义的函数不成立，从而可以继续推导.“条件”的研究并不是依靠一两个数学式就能够确定的，即便是现在只有两个方面，难保日后不会有更多的方面，所以还要加深研究才行.

总结：本文对高等数学函数一致性连续性问题进行了一定的研究，从目前的情况来看，高等数学函数一致连续性的相关问题并没有得到彻底的解决，虽然一些小问题没有影响到学生的学习，但后续的研究工作必须将其解决，尽量通过完善的研究方式和推导方式，将高等数学函数深入推理，得到更好的结论.

【参考文献】

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